《2025年全优方案夯实与提高八年级数学下册浙教版》

15.【天津】计算$(\sqrt{10}+1)(\sqrt{10}-1)$的结果等于________．

答案： 15.9

16.【荆州】已知$a=\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}+(-\sqrt{3})^{0}$，$b = (\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})$，则$\sqrt{a + b}=$________．

答案： 16.2

17. 阅读材料，解答问题．
　进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如$\frac{3}{\sqrt{5}}$，$\frac{\sqrt{2}}{3}$，$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$这样的式子，我们可以将其进一步化简：
　　$\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$；
　　$\frac{\sqrt{2}}{3}=\sqrt{\frac{2 \times 3}{3 \times 3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$；
　　$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{2 \times (\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3})^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}-1$．
　以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
　$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$还可以用以下方法化简：
　$\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\frac{3 - 1}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3})^{2}-1^{2}}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$．
　(1)请用不同的方法化简$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$．
　(2)化简：$\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2n + 1}+\sqrt{2n - 1}}$．

答案： 17.
(1)方法1:原式$=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}$
$=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$;
方法2:原式$=\frac{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$
$=\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$.
(2)原式$=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}+\cdots+\frac{\sqrt{2n + 1}-\sqrt{2n - 1}}{(\sqrt{2n + 1}+\sqrt{2n - 1})(\sqrt{2n + 1}-\sqrt{2n - 1})}$
$=\frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\cdots+\frac{\sqrt{2n + 1}-\sqrt{2n - 1}}{2}$
$=\frac{\sqrt{2n + 1}-1}{2}$.