《2025年全优方案夯实与提高八年级数学下册浙教版》

11. 如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。若点O运动到AC的中点，则∠ACB=________°时，四边形AECF是正方形。

答案： 90

12. 如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于点P。若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是________。

答案： 3$\sqrt{2}$

13. 两个长为2cm、宽为1cm的长方形摆放在直线l上(如图1)，CE=2cm，将长方形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转α角，将长方形EFGH绕着点E按逆时针方向旋转相同的角度。

(1)当旋转到顶点D，H重合时，连结AG(如图2)，求点D到AG的距离。
(2)当α=45°时(如图3)，求证：四边形MHND为正方形。

答案：
(1)作DK⊥AG于点K.
∵CD = CE = DE = 2cm，
∴△CDE是等边三角形.
∴∠CDE = 60°.
∴∠ADG = 360° - 2×90° - 60° = 120°.
∵AD = DG = 1cm，
∴∠DAG = ∠DGA = 30°.
∴DK=$\frac{1}{2}$DG=$\frac{1}{2}$cm.
∴点D到AG的距离为$\frac{1}{2}$cm.
(2)
∵α = 45°，
∴∠NCE = ∠NEC = 45°.
∴CN = NE，∠CNE = 90°.
∴∠DNH = 90°.
∵∠D = ∠H = 90°，
∴四边形MHND是矩形.
∵CN = NE，CD = EH，
∴DN = NH.
∴矩形MHND是正方形.

14. 如图，已知四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上的一动点，连结DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连结CG。
(1)求证：矩形DEFG是正方形。
(2)判断CE，CG与AB之间的数量关系，并给出证明。

答案：

(1)如图，过点E作EM⊥BC于点M，作EN⊥CD于点N.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD = 90°，∠ECN = 45°.

∴∠EMC = ∠ENC = ∠BCD = 90°，NE = NC.
∴四边形EMCN为正方形.
∴EN = EM.
又
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEN + ∠NEF = ∠MEF + ∠NEF = 90°.
∴∠DEN = ∠MEF.
在△DEN和△FEM中，
∵$\begin{cases}∠DNE = ∠FME = 90°,\\EN = EM,\\∠DEN = ∠FEM,\end{cases}$
∴△DEN≌△FEM(ASA).
∴ED = EF.
∴矩形DEFG为正方形.
(2)CE + CG=$\sqrt{2}$AB.证明：
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE = DG，∠EDC + ∠CDG = 90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD = DC，∠ADE + ∠EDC = 90°.
∴∠ADE = ∠CDG.
在△ADE和△CDG中，
∵$\begin{cases}AD = CD,\\∠ADE = ∠CDG,\\DE = DG,\end{cases}$
∴△ADE≌△CDG(SAS).
∴AE = CG.
在Rt△ABC中，AC = AE + CE=$\sqrt{2}$AB.
∴CE + CG=$\sqrt{2}$AB.