《2025年全优方案夯实与提高八年级数学下册浙教版》

21. (8分)已知任意四边形ABCD，且线段AB，BC，CD，DA，AC，BD的中点分别是E，F，G，H，P，Q。
(1)若四边形ABCD如图1，判断下列结论是否正确(正确的在括号里画“√”，错误的在括号里画“×”)。
甲：顺次连结EF，FG，GH，HE，得到的一定是平行四边形。(　　　)
乙：顺次连结EQ，QG，GP，PE，得到的一定是平行四边形。(　　　)
(2)请选择甲、乙中的一个，证明你对它的判断。
(3)若四边形ABCD如图2，请你判断(1)中的两个结论是否成立。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　D
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A　　　　　　　　B 图2
　　　　　　　　　　(第21题)

答案：

(1)√ √
(2)选择甲.(答案不唯一)
证明:如图1,连结EF,FG,GH,HE.
∵E,F分别是AB,BC的中点，
∴EF//AC，EF=$\frac{1}{2}$AC.
同理可得HG//AC，HG=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF//HG，EF=HG.
∴四边形EFGH是平行四边形.
　　 　
(3)如图2,甲、乙都成立.

22. (10分)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE。已知∠BAC = 30°，EF⊥AB，垂足为点F，连结DF。
(1)试说明AC = EF。
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形。
　　

答案：
(1)
∵Rt△ABC中,∠BAC=30°,
∴AB=2BC.又
∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF.
∴AF=BC.
在Rt△AFE和Rt△BCA中,
∵$\begin{cases}AF = BC,\\AE = BA,\end{cases}$
∴△AFE≌△BCA(HL).
∴AC=EF.
(2)
∵△ACD是等边三角形,
∴∠DAC=60°,AC =AD.
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°.
又
∵EF⊥AB,
∴EF//AD.
∵AC=EF,AC=AD,
∴EF=AD.
∴四边形ADFE是平行四边形.