《2025年全优方案夯实与提高八年级数学下册浙教版》

7. 如图，在平行四边形ABCD中，P是AB边上一点(不与点A,B重合)，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，且∠QPA=∠PCB,QP=QD.
(1)求证：四边形ABCD是矩形.
(2)求证：CD=CP.
　　　　

答案： 7.
(1)
∵PQ⊥CP,
∴∠QPC = 90°.
∴∠QPA+∠BPC = 180°−90°=90°.
∵∠QPA = ∠PCB,
∴∠BPC+∠PCB = 90°.
∴∠B = 180°−(∠BPC+∠PCB)=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
(2)连结CQ.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D = 90°.
∵∠CPQ = 90°,
∴∠D = ∠CPQ = 90°.
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中,
∵$\begin{cases}CQ = CQ,\\DQ = PQ,\end{cases}$
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ(HL).
∴CD = CP.

8. 如图，在菱形ABCD中，O是对角线的交点，E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且$CF=\frac{1}{2}BC.$
(1)求证：四边形OCFE是平行四边形.
(2)连结DF，如果DF⊥CF，请你写出图中所有的等边三角形.
　　　

答案： 8.
(1)
∵四边形ABCD是菱形，
∴BO = DO.
∵E是边CD的中点,
∴OE是△BDC的中位线.
∴OE//BC,OE = $\frac{1}{2}$BC.
∵CF = $\frac{1}{2}$BC,
∴OE//CF 且OE = CF.
∴四边形OCFE是平行四边形.
(2)图中的等边三角形有:△OCE,△ECF,△ABC,△ADC.

9. 已知$PA=\sqrt{2},PB=4，$以AB为边作正方形ABCD，使P,D两点落在直线AB的两侧. 如图，当∠APB=45°时，PD的长是( ).
$A. 2\sqrt{5} B. 2\sqrt{6} C. 3\sqrt{2} D. 5$
　　　　　　　

答案： 9.A

10. 如图，在矩形ABCD中，AD=2，P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为( ).
$A. 2 B. \sqrt{3} C. 2$或$\sqrt{3} D. 4$或$2\sqrt{3}$
　　　　　

答案： 10.C