《2025年全优方案夯实与提高八年级数学下册浙教版》

10. 已知$a＜0$，则化简$\sqrt{(2a - |a|)^{2}}$的结果是( )。
A. $a$
B. $-a$
C. $3a$
D. $-3a$

答案： D

11. 若代数式$\sqrt{(2 - a)^{2}} + \sqrt{(a - 4)^{2}}$的值为2，则$a$的取值范围是( )。
A. $a\geqslant4$
B. $a\leqslant2$
C. $2\leqslant a\leqslant4$
D. $a = 2$或$a = 4$

答案： C

12. 已知实数$x$满足$\sqrt{x - 2}\cdot|x + 1|\leqslant0$，则$x$的值为________。

答案： 2

13. 已知$\triangle ABC$的三边长分别为$a$，$b$，$c$，则$\sqrt{(a - b - c)^{2}} - |b - a - c| = $________。

答案： 2b - 2a

14. 已知$a + b = -8$，$ab = 6$，化简：$b\sqrt{\frac{b}{a}} + a\sqrt{\frac{a}{b}} = $________。

答案： $-\frac{26\sqrt{6}}{3}$【解析】$\because a + b = - 8\lt0$，$ab = 6\gt0$，
$\therefore a\lt0$，$b\lt0$.
$\therefore$原式$=b\sqrt{\frac{ab}{a^{2}}}+a\sqrt{\frac{ab}{b^{2}}}=-\frac{b\sqrt{ab}}{a}-\frac{a\sqrt{ab}}{b}$
$=-\sqrt{ab}\cdot\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}=-\sqrt{ab}\cdot\frac{(a + b)^{2}-2ab}{ab}$
$=-\sqrt{6}\times\frac{(-8)^{2}-2\times6}{6}=-\frac{26\sqrt{6}}{3}$.

15. 设等式$\sqrt{a(x - a)} + \sqrt{a(y - a)} = \sqrt{x - a} - \sqrt{a - y}$在实数范围内成立，其中$a$，$x$，$y$是两两不同的实数，求$\frac{3x^{2} + xy - y^{2}}{x^{2} - xy + y^{2}}$的值。

答案： $\because\sqrt{a(x - a)}+\sqrt{a(y - a)}=\sqrt{x - a}-\sqrt{a - y}$在实数范围内成立，$\therefore x - a\geq0$，$a - y\geq0$，即$y - a\leq0$. 又$\because a(y - a)\geq0$，$a(x - a)\geq0$，$\therefore a = 0$.
$\therefore$原等式可变为$\sqrt{x}-\sqrt{-y}=0$，解得$x = - y$.
$\therefore\frac{3x^{2}+xy - y^{2}}{x^{2}-xy + y^{2}}=\frac{3y^{2}-y^{2}-y^{2}}{y^{2}+y^{2}+y^{2}}=\frac{1}{3}$.

16.【攀枝花】已知实数$a$，$b$在数轴上的位置如图，化简$\sqrt{(a + 1)^{2}} + \sqrt{(b - 1)^{2}} - \sqrt{(a - b)^{2}}$的结果是( )。
　　
(第16题)
A. $-2$
B. $0$
C. $-2a$
D. $2b$

答案： A

17.【常德】若代数式$\frac{2}{\sqrt{2x - 6}}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是________。

答案： $x\gt3$

18. 已知$\sqrt{15 + x^{2}} - \sqrt{19 - x^{2}} = 2$，求$\sqrt{19 - x^{2}} + \sqrt{15 + x^{2}}$的值。

答案： 设$m = \sqrt{15 + x^{2}}$，$n = \sqrt{19 - x^{2}}$，
则$m - n = 2$，$m^{2}+n^{2}=(\sqrt{15 + x^{2}})^{2}+(\sqrt{19 - x^{2}})^{2}=34$. $\therefore 2mn = m^{2}+n^{2}-(m - n)^{2}=30$. $\therefore m + n=\sqrt{(m + n)^{2}}=\sqrt{m^{2}+n^{2}+2mn}=\sqrt{34 + 30}=8$.
$\therefore\sqrt{19 - x^{2}}+\sqrt{15 + x^{2}}=8$.