《2025年全优方案夯实与提高八年级数学下册浙教版》

16.【巴中】如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB=AD=CD=$\frac{1}{2}BC$. 分别以B，D为圆心，大于$\frac{1}{2}BD$长为半径画弧，两弧交于点M. 画射线AM交BC于点E，连结DE.
(1)求证：四边形ABED为菱形.
(2)连结BD，当CE=5时，求BD的长.
　　　　

答案：
16.
(1)如图，连结BD.
根据题意得出AM为线段BD的垂直平分线，
∴BD⊥AE,
∴BE=DE.
∵AD//BC,AB=AD=CD=$\frac{1}{2}$BC,
∴∠ADB=∠DBE,∠ABD=∠ADB.
∴∠ABD=∠DBE.
∵BD⊥AE,
∴∠BAE=∠BEA.
∴AB=BE;
∴AD=AB=BE=DE.
∴四边形ABED为菱形.

(2)
∵AB=AD=CD=$\frac{1}{2}$BC,BE=AD,
∴DE=BE=CE=CD=5,即△CDE是等边三角形.
∴∠DEC=∠C=60°.
∴∠DBE=∠BDE=30°.
∴∠BDC=90°.
∴BD=$\sqrt{3}$CD=5$\sqrt{3}$

17. 如图1，P是线段AB上一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连结CD，E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，顺次连结E，F，G，H.
(1)猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由.
(2)当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由.
(3)如果(2)中的∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，不必说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　　　
C　　　　H　　　D
　　　 　　　　E　　　　　　P　　AG　　　　　　　　　　P
　　　　　　　　　　　　　　
A　　　　　F　　　　　B　　　　A　　　　　　　　　　B
　　　　　　　　　　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　　　　　　图3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(第17题)

答案：
17.
(1)四边形EFGH是菱形.
(2)成立.理由如下:
如图1,连结AD,BC.
∵∠APC=∠BPD,
∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD,即∠APD =∠CPB.又
∵PA=PC,PD=PB,
∴△APD≌△CPB.
∴AD=CB.
∵E,F,G,H分别是AC,AB,BD,CD的中点,
∴EF,FG,GH,EH分别是△ABC,△ABD,△BCD,△ACD的中位线.
∴EF=$\frac{1}{2}$BC,FG=$\frac{1}{2}$AD,
GH=$\frac{1}{2}$BC,EH=$\frac{1}{2}$AD.
∴EF=FG=GH=EH.
∴四边形EFGH是菱形.

(3)如图2,四边形EFGH是正方形.