《2025年全优方案夯实与提高八年级数学下册浙教版》

16.【连云港】如图，C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形。
(1)求证：四边形ACED是平行四边形。
(2)若AB=AE，求证：四边形ACED是矩形。
　　　

答案：
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，且AD=BC.
∵C是BE的中点，
∴BC=CE，
∴AD=CE.
∵AD//CE，
∴四边形ACED是平行四边形.
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC.
∵AB=AE，
∴DC=AE.
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形.

17. 已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置(如图1)时，易证得结论PA²+PC²=PB²+PD²。请你探究：当点P分别在图2、图3中的位置时，PA²，PB²，PC²和PD²又有怎样的数量关系？请写出对上述两种情况的探究结论，并利用图2证明你的结论。
图2的探究结论为__________________；图3的探究结论为__________________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　P
　　　　　　　　　　　　　　　
A　　　　　　　　D　　　A　　　　　　　　D
　　　　 　　　　　P
　　　　　　　　　　　　　　　
B　　　图2　　　C　　　B　　　图3
　　　　　　　　　　　　　　　　　(第17题)

答案：
结论均是PA²+PC²=PB²+PD².
证明：如图，过点P作MN//AB，交AD于点M，交BC于点N.
∴四边形ABNM和四边形NCDM均为矩形.
根据题意得，在矩形ABNM中有PA²+PN²=PB²+PM²，在矩形NCDM中有PC²+PM²=PD²+PN²，两式相加得PA²+PN²+PC²+PM²=PB²+PM²+PD²+PN²，
∴PA²+PC²=PB²+PD².