《2025年全优方案夯实与提高八年级数学下册浙教版》

9. 下列各式中，计算正确的是(　　)。
　
A. $\sqrt{(-4)\times(-16)}=\sqrt{-4}\times\sqrt{-16}=(-2)\times(-4)=8$
　
B. $\sqrt{8a^{2}}=4a(a ＞ 0)$
　
C. $\sqrt{3^{2}+4^{2}}=3 + 4 = 7$
　
D. $\sqrt{\frac{5}{3}}=\frac{\sqrt{15}}{3}$

答案： D

10. 已知$a ＜ b$，则化简二次根式$\sqrt{-a^{3}b}$的结果是(　　)。
　
A. $-a\sqrt{-ab}$　　
　B. $-a\sqrt{ab}$　　　　
　C. $a\sqrt{ab}$　　　　　
　D. $a\sqrt{-ab}$

答案： A

11. 若$\sqrt{189n}$是正整数，则整数$n$的最小值为_______。

答案： 21

12. 若$\sqrt{a^{2}-6a + 9}=4 - 2a$，则实数$a$的值为_______。

答案： 1

13. 阅读下面的解题过程，判断其是否正确。若不正确，请写出正确的解答过程。
　已知$m$为实数，化简：$-\sqrt{-m^{3}}-m\sqrt{-\frac{1}{m}}$
　解：原式$=-m\sqrt{-m}-m\cdot\frac{1}{m}\sqrt{-m}=(-m - 1)\sqrt{-m}$
　

答案： 不正确，正确的解答过程如下：
根据题意，$\sqrt{-\frac{1}{m}}$有意义，则$m＜0$.
$\therefore$原式$=m\sqrt{-m}+\sqrt{-\frac{m^{2}}{m}}=m\sqrt{-m}+\sqrt{-m}=(m + 1)\sqrt{-m}$.

14. 观察下列各式及其验证过程：
　　$\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}$，验证：$\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{1}{2\times3}}=\sqrt{\frac{2}{2^{2}\times3}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}$；
　　$\sqrt{\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{3}{8}}$，验证：$\sqrt{\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})}=\sqrt{\frac{1}{2\times3\times4}}=\sqrt{\frac{3}{2\times3^{2}\times4}}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{3}{8}}$；
　　$\sqrt{\frac{1}{3}(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{4}{15}}$，验证：$\sqrt{\frac{1}{3}(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})}=\sqrt{\frac{1}{3\times4\times5}}=\sqrt{\frac{4}{3\times4^{2}\times5}}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{4}{15}}$；
　(1)根据上述三个等式及其验证过程，猜想$\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})}$的变形结果并进行验证。
　(2)针对上述各式反映的规律，写出用$n$($n$为自然数，且$n\geqslant1$)表示的等式，不需要证明。
　

答案：
(1)$\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})}=\frac{1}{5}\sqrt{\frac{5}{24}}$.验证如下：
$\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})}=\sqrt{\frac{1}{4\times5\times6}}=\sqrt{\frac{5}{4\times5^{2}\times6}}=\frac{1}{5}\sqrt{\frac{5}{24}}$.
(2)$\sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n + 1}-\frac{1}{n + 2})}=\frac{1}{n + 1}\sqrt{\frac{n + 1}{n(n + 2)}}$（$n$为自然数，$n\geq1$）.