《2025年全优方案夯实与提高八年级数学下册浙教版》

15.【玉林】如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个便得到正方形：a. 两组对边分别相等；b. 一组对边平行且相等；c. 一组邻边相等；d. 一个角是直角。顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c。其中正确的是( )。

A. 仅①
B. 仅③
C. ①②
D. ②③

答案： C

16.【北京】在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，对于任意矩形ABCD，给出下面四个结论：
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形。
所有正确结论的序号是________。

答案： ①②③

17. 以四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E，F，G，H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH。
(1)如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断四边形EFGH的形状(不要求证明)。
(2)如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α(0°＜α＜90°)。
①试用含α的代数式表示∠HAE。
②求证：HE=HG。
③四边形EFGH是什么四边形？请说明理由。

答案：
(1)四边形EFGH的形状是正方形.
(2)①
∵在□ABCD中，AB//CD，
∴∠BAD = 180° - ∠ADC = 180° - α.
∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形，
∴∠HAD = ∠EAB = 45°.
∴∠HAE = 360° - ∠HAD - ∠EAB - ∠BAD = 360° - 45° - 45° - (180° - α) = 90° + α.
②
∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，
∴AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，DG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD.
∵在□ABCD中，AB = CD，
∴AE = DG.
∵△AHD和△DGC是等腰直角三角形，
∴∠HDA = ∠CDG = 45°.
∴∠HDG = ∠HDA + ∠ADC + ∠CDG = 90° + α = ∠HAE.
∵△AHD是等腰直角三角形，
∴HA = HD.
∴△HAE≌△HDG.
∴HE = HG.
③四边形EFGH是正方形.理由如下：
由②同理可得GH = GF，FG = FE.
∵HE = HG，
∴GH = GF = EF = HE.
∴四边形EFGH是菱形.
∵△HAE≌△HDG，
∴∠DHG = ∠AHE.
∵∠AHD = ∠AHG + ∠DHG = 90°，
∴∠EHG = ∠AHG + ∠AHE = 90°.
∴四边形EFGH是正方形.