《2025年全优方案夯实与提高八年级数学下册浙教版》

9. 已知$x = \frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5})$，$y = \frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})$，求下列各式的值。
(1)$x^{2}-xy + y^{2}$。
(2)$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$。

答案： 9.$\because x=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5}),y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})$,
$\therefore x + y=\sqrt{7},xy=\frac{1}{2}$.
(1)原式$=(x + y)^{2}-3xy=7-\frac{3}{2}=\frac{11}{2}$.
(2)原式$=\frac{(x + y)^{2}-2xy}{xy}=\frac{7 - 1}{\frac{1}{2}}=12$.

10. 已知$m = \sqrt{2}+1$，$n = \sqrt{2}-1$，则$\sqrt{m^{2}+n^{2}-3mn}$的值为(　　　)。
A. 9
B. $\sqrt{3}$
C. 3
D. 5

答案： 10.B

11. 已知等腰三角形的两边长为$2\sqrt{3}$和$5\sqrt{2}$，则此等腰三角形的周长为(　　　)。
A. $4\sqrt{3}+5\sqrt{2}$
B. $2\sqrt{3}+10\sqrt{2}$
C. $4\sqrt{3}+10\sqrt{2}$
D. $4\sqrt{3}+5\sqrt{2}$或$2\sqrt{3}+10\sqrt{2}$

答案： 11.B

12. 在直角三角形中，自锐角顶点所引的两条中线的长分别为$\sqrt{10}$和$\sqrt{35}$，那么这个直角三角形的斜边长为(　　　)。
A. 6
B. 7
C. $2\sqrt{6}$
D. $2\sqrt{7}$

答案： 12.A

13. 我们规定运算符号$\otimes$的意义如下：当$a＞b$时，$a\otimes b = a + b$；当$a\leq b$时，$a\otimes b = a - b$，其他运算符号意义不变。按上述规定，计算$(\sqrt{3}\otimes\frac{3}{2})-[(1-\sqrt{3})\otimes(-\frac{1}{2})]$的结果为________。

答案： 13.$2\sqrt{3}$

14. 如图，在四边形$ABCD$中，$\angle A = \angle BCD = 90^{\circ}$，$\angle B = 45^{\circ}$，$AB = 2\sqrt{6}$，$CD = \sqrt{3}$。求四边形$ABCD$的面积。
　　　

答案：
14.如图,作AD和BC的延长线相交于点E.
$\because\angle A=\angle BCD = 90^{\circ},\angle B = 45^{\circ},\therefore\triangle ABE$和$\triangle CDE$都为等腰直角三角形.

$\therefore S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}AB^{2}=\frac{1}{2}\times(2\sqrt{6})^{2}=12,S_{\triangle CDE}=\frac{1}{2}CD^{2}=\frac{1}{2}\times(\sqrt{3})^{2}=\frac{3}{2}$.
$\therefore$四边形ABCD的面积为$12-\frac{3}{2}=\frac{21}{2}$.

15. 请阅读以下材料，并完成相应的任务。
　斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)。后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如一般的梅花、飞燕草、万寿菊等)的花瓣数恰是斐波那契数列中的数。斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用。
　斐波那契数列中的第$n$个数可以用$\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^{n}](n\geq1)$表示。这是用无理数表示有理数的一个范例。
　任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数。

答案： 15.第1个数,当$n = 1$时,
$\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}]=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2})=\frac{1}{\sqrt{5}}\times\sqrt{5}=1$.
第2个数,当$n = 2$时,
$\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}]=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{2}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{2}]$
$=\frac{1}{\sqrt{5}}\times(\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{1-\sqrt{5}}{2})(\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2})=\frac{1}{\sqrt{5}}\times1\times\sqrt{5}=1$.