《2025年全优方案夯实与提高八年级数学下册浙教版》

13. 如图，E是矩形ABCD的边BC的延长线上一点，连结AE交CD于点F，G是AF的中点，再连结DG，DE，且DE = DG.
(1)求证：∠DEA = 2∠AEB.
(2)若BC = 2AB，求∠AED的度数.

答案：
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADF=90°,AD//BC.
∵在Rt△ADF中,G是AF中点,
∴GA=GD=GF.
∴∠DGF=2∠DAE.
∵AD//BE,
∴∠AEB=∠DAE.
∵DG=DE,
∴∠DEA=∠DGF.
∴∠DEA=2∠AEB.
(2)过点G作GH⊥DC于点H.
∵AD//GH,G是AF中点，
∴GH=$\frac{1}{2}$AD=AB=DC.
∵DE=DG=GF,
∴Rt△GHF≌Rt△DCE(HL).
∵∠DEA=2∠AEB,
∴∠DEC=∠GFH=3∠AEB=3∠DAE.
∵∠DAE+∠GFH=90°,
∴4∠DAE=90°,∠DAE=22.5°.
∴∠DEA=2∠DAE=45°.

14.【鞍山】如图，在矩形ABCD中，AB = 3，对角线AC，BD交于点O，DH⊥AC，垂足为H，若∠ADH = 2∠CDH，则AD的长为_______.

答案： 3$\sqrt{3}$

15.【徐州】如图，四边形ABCD与四边形AEGF均为矩形，点E，F分别在线段AB，AD上.若BE = FD = 2cm，矩形AEGF的周长为20cm，则图中阴影部分的面积为_______cm².

答案： 24

16. 已知矩形ABCD，点E在直线CD上，CF⊥AE，垂足为F，连结BF，DF.
(1)如图1，点E在线段CD上，写出线段BF与DF的位置关系并证明.
(2)如图2，点E不在线段CD上，请补全图形，写出线段BF与DF的位置关系并证明.

A　　　　　　　D
B
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图2
　　　　　　　　　　(第16题)

答案：

(1)BF⊥DF.理由如下:如图1,连结AC,BD交于点O,连结OF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD.
∵CF⊥AE,垂足为F,
∴∠AFC=90°.
∵在Rt△ACF中,OA=OC,
∴OF=$\frac{1}{2}$AC=OA =OB=OD.
∴OF=OB=OD.
∴∠DBF=∠OFB,∠BDF=∠OFD.
∵∠BFD+∠BDF+∠DBF=180°,
∴∠OFB+∠OFD+∠OFB+∠OFD=180°.
∴∠OFB+∠OFD=90°.
∴∠BFD=∠OFB+∠OFD=90°,即BF⊥DF.

(2)BF⊥DF.理由如下:如图2,当点E在CD的延长线上时，连结AC,BD交于点O,连结OF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD.
∵CF⊥AE,垂足为F,
∴∠AFC=90°.
∵在Rt△ACF中,OA=OC,
∴OF=$\frac{1}{2}$AC=OA=OB=OD.
∴∠DBF=∠OFB,∠BDF=∠OFD.
∵∠BFD+∠BDF+∠OFB+∠OFD=180°,
∴∠OFB+∠OFD=90°.
∴∠BFD=∠OFB+∠OFD =90°,即BF⊥DF.

如图3,当点E在DC的延长线上时，同理可得BF⊥DF.