《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

1. (2025·泰州姜堰区期末)如图,$\angle ACB=90^{\circ}$,$CD\perp AB$,垂足为$D$,若$AC=4$,$BC=3$,则$\tan\angle BCD$的值为(A).

A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$

答案： 1.A [解析]
∵$\angle ACB=90°$，$CD\perp AB$，
$\therefore \angle A+\angle ACD=\angle BCD+\angle ACD=90°$，
$\therefore \angle A=\angle BCD$.
在$Rt\triangle ABC$中，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac34$，
$\therefore \tan\angle BCD=\tan A=\frac34$.故选A.

2. 在$Rt\triangle ABC$中,锐角$A$的对边和斜边同时扩大为原来的 100 倍,$\sin A$的值(C).

A.扩大为原来的 100 倍
B.缩小为原来的$\frac{1}{100}$
C.不变
D.不能确定

答案： 2.C [解析]锐角A的三角函数值随着$\angle$A角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系，因此$\sin$A的值不会随着边长的扩大而变化.

3. 如图,点$A$、$B$、$C$在边长为 1 的正方形网格格点上,下列结论错误的是(A).

A.$\sin B=\frac{1}{3}$
B.$\sin C=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\tan B=\frac{1}{2}$
D.$\sin^{2}B+\sin^{2}C=1$

答案： 3.A [解析]由勾股定理，得$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2$，$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$，$BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$\therefore BC^2=AB^2+AC^2$，$\therefore \triangle ABC$是直角三角形，$\angle BAC=90°$.
$\therefore \sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt2}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt5}5$，$\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{2\sqrt2}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt5}5$，$\tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt2}{2\sqrt2}=\frac12$，$\sin^2B+\sin^2C=(\frac{\sqrt5}5)^2+(\frac{2\sqrt5}5)^2=1$.故选A.

4. 在$Rt\triangle ABC$中,已知$\angle B = 90^{\circ}$,$AC=10$,$AB=5\sqrt{2}$,则$\angle A$等于(A).

A.$45^{\circ}$
B.$30^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$50^{\circ}$

答案： 4.A [解析]在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B=90°$，$AC=10$，$AB=5\sqrt2$，
$\therefore \cos A=\frac{AB}{AC}=\frac{5\sqrt2}{10}=\frac{\sqrt2}2$，$\therefore \angle A=45°$.故选A.

5. (2023·衢州中考)如图,一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上,调节杆$BC=\sqrt{2}a$,$AB=b$,$AB$的最大仰角为$\alpha$.当$\angle C = 45^{\circ}$时,则点$A$到桌面的最大高度是(D).

A.$a+\frac{b}{\cos\alpha}$
B.$a+\frac{b}{\sin\alpha}$
C.$a+b\cos\alpha$
D.$a+b\sin\alpha$

答案：
5.D [解析]如图，过点A作$AF\perp BE$于点F，过点B作$BG\perp CD$于点G.

在$Rt\triangle ABF$中，$AF=AB· \sin\alpha=b\sin\alpha$，
在$Rt\triangle BCG$中，$BG=BC· \sin45°=\sqrt2a×\frac{\sqrt2}2=a$，
$\therefore$点A到桌面的最大高度$=BG+AF=a+b\sin\alpha$.故选D.

6. 已知$\cos\alpha=\frac{3}{4}$,则锐角$\alpha$的取值范围是(B).

A.$0^{\circ}＜\alpha＜30^{\circ}$
B.$30^{\circ}＜\alpha＜45^{\circ}$
C.$45^{\circ}＜\alpha＜60^{\circ}$
D.$60^{\circ}＜\alpha＜90^{\circ}$

答案： 6.B [解析]$\because \cos30°=\frac{\sqrt3}2$，$\cos45°=\frac{\sqrt2}2$，且$\frac{\sqrt2}2＜\frac34＜\frac{\sqrt3}2$，
$\therefore30°＜\alpha＜45°$.故选B.

7. (2025·泰州靖江期中)在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,斜边为$c$,$\angle A$,$\angle B$所对的直角边分别为$a$,$b(a\neq b)$,斜边上的高$CD=h$.下列结论错误的是(B).

A.$a\sin A + b\sin B=c$
B.$a\cos A + b\cos B=c$
C.$h\tan A + h\tan B=c$
D.$a\cos B + b\cos A=c$

答案：
7.B [解析]
∵$\angle ACB=90°$，$CD\perp AB$，
$\therefore \angle A+\angle ACD=\angle BCD+\angle ACD=90°$，$\therefore \angle A=\angle BCD$，
同理，$\angle B=\angle ACD$，

$\therefore a\sin A+b\sin B=a\sin\angle BCD+b\sin\angle ACD=a×\frac{BD}a+b×\frac{AD}b=AD+BD=AB=c$.
故A不符合题意；
$\because \cos A=\cos\angle BCD=\frac{CD}a$，$\cos B=\cos\angle ACD=\frac{CD}b$
$\therefore a\cos A+b\cos B=a×\frac{CD}a+b×\frac{CD}b=2CD=2h$.
故B符合题意；
$\because \tan A=\tan\angle BCD=\frac{BD}h$，$\tan B=\tan\angle ACD=\frac{AD}h$，
$\therefore h\tan A+h\tan B=h×\frac{BD}h+h×\frac{AD}h=BD+AD=AB=c$.
故C不符合题意；
$\because \cos A=\frac{AD}b$，$\cos B=\frac{BD}a$，
$\therefore a\cos B+b\cos A=a×\frac{BD}a+b×\frac{AD}b=BD+AD=AB=c$.
故D不符合题意.故选B.

8. 中考新考法 最值问题 (2025·扬州邗江区期中)如图,已知$A$、$B$两点的坐标分别为$(8,0)$、$(0,8)$,点$C$、$F$分别是直线$x = - 5$和$x$轴上的动点,$CF = 10$,点$D$是线段$CF$的中点,连接$AD$交$y$轴于点$E$,当$\triangle ABE$面积取得最小值时,$\sin\angle OAD$的值是(D).

A.$\frac{8}{17}$
B.$\frac{12}{13}$
C.$\frac{4\sqrt{2}}{13}$
D.$\frac{5}{13}$

答案：
8.D [解析]如图，设直线$x=-5$交x轴于点K，取CF中点D，连接KD.由题意，得$KD=\frac12CF=5$，

$\therefore$点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆.
$\therefore$当直线AD与$\odot$K相切时，$\triangle ABE$的面积最小.
$\because$AD是切线，点D是切点，$\therefore AD\perp KD$.
$\because AK=13$，$DK=5$，$\therefore\sin\angle OAD=\frac{DK}{AK}=\frac5{13}$.故选D.