《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

25.(8分)如图，已知$\odot O$的直径为$3\sqrt{2}$，$AB$为$\odot O$的弦，且$AB = 4$，$P$是$\odot O$上一动点，问是否存在以$A$、$P$、$B$为顶点的面积最大的三角形？试说明理由.若存在，求出这个三角形的面积.

答案：
25.存在以A、P、B为顶点的面积最大的三角形.理由如下： 如图，过点P作PD⊥AB于点D.
∵当点P在优弧AB上时，PD可能大于⊙O的半径，当点P在劣弧AB上时，PD一定小于⊙O的半径，且AB的长为定值，
∴当点P在优弧AB上且为优弧AB的中点时△APB的 面积最大，此时PD经过圆心O.作⊙O的直径AC，连接BC，则∠ABC = 90°，
∵$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 - 4^2} = \sqrt{2}. $
∵AO = OC，AD = BD，
∴OD为△ABC的中位线，
∴$OD = \frac{1}{2}BC = \frac{\sqrt{2}}{2}，$
∴$PD = PO + OD = \frac{3\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}，$
∴$S_△APB = \frac{1}{2}AB·PD = \frac{1}{2}×4×2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}.$

26.(8分)(2024·西宁中考)如图，$PA$、$PB$是$\odot O$的切线，$A$、$B$为切点，连接$OA$、$OB$，过点$O$作$OC// PA$交$PB$于点$C$，过点$C$作$CD\perp AP$，垂足为$D$.
(1)求证：$OC = AD$；
(2)若$\odot O$的半径是3，$PA = 9$，求$OC$的长.

答案： 26.
(1)
∵PA、PB是⊙O的切线，OA、OB是⊙O的半径，
∴OA⊥PA，OB⊥PB.
∵OC//PA，CD⊥AP，
∴CD⊥OC，
∴∠OAD = ∠CDA = ∠OCD = 90°，
∴四边形OADC是矩形，
∴OC = AD.
(2)设OC = AD = x.
∵四边形OADC是矩形，⊙O的半径是3，PA = 9，
∴OA = OB = CD = 3，PD = PA - AD = 9 - x.
∵OC//PA，
∴∠OCB = ∠P.
∵OB⊥PB，CD⊥AP，
∴∠OBC = ∠CDP = 90°. 在△OCB和△CPD中，$\begin{cases} \angle OCB = \angle P, \\ \angle OBC = \angle CDP, \\ OB = CD, \end{cases} $
∴△OCB≅△CPD(AAS)，
∴BC = PD = 9 - x. 在Rt△OCB中，由勾股定理得$OC^2 = OB^2 + BC^2，$
∴$x^2 = 3^2 + (9 - x)^2，$解得x = 5，
∴OC = 5.

27.(10分)如图，$\odot O$的直径$AB = 12cm$，有一条定长为$8cm$的动弦$CD$在$\overset{\frown}{AB}$上滑动(点$C$与点$A$不重合，点$D$与点$B$不重合)，且$CE\perp CD$交$AB$于点$E$，$DF\perp CD$交$AB$于点$F$.
(1)求证：$AE = BF$；
(2)在动弦$CD$滑动的过程中，四边形$CDFE$的面积是否为定值？若是定值，请给出说明，并求出这个定值；若不是，请说明理由.

答案： 27.
(1)过点O作OH⊥CD于点H，则O为EF的中点，
∴OE = OF. 又AB为直径，
∴OA = OB. 又AE = OA - OE，BF = OB - OF，
∴AE = BF.
(2)四边形CDFE的面积为定值，是$16\sqrt{5}cm^2.$理由如下：
∵CE⊥CD，FD⊥CD，
∴EC//FD，由此可知，四边形CDFE为直角梯形或矩形，
∴S_四边形CDFE = OH·CD. 连接OC，则$OH = \sqrt{OC^2 - CH^2} = \sqrt{(\frac{12}{2})^2 - (\frac{8}{2})^2} = 2\sqrt{5}(cm).$又CD = 8cm，
∴S_四边形$CDFE = OH·CD = 2\sqrt{5}×8 = 16\sqrt{5}(cm^2)，$ 即四边形CDFE的面积为定值.

28.(12分) 归纳法 中考新考法 归纳一般结论 阅读材料：如图(1)，$\triangle ABC$的周长为$l$，内切圆$O$的半径为$r$，连接$OA$、$OB$、$OC$，$\triangle ABC$被划分为三个小三角形，用$S_{\triangle ABC}$表示$\triangle ABC$的面积.
由图知$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle OAB} + S_{\triangle OBC} + S_{\triangle OCA}$.
$\because S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2}AB· r$，$S_{\triangle OBC} = \frac{1}{2}BC· r$，$S_{\triangle OCA} = \frac{1}{2}CA· r$，
$\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB· r + \frac{1}{2}BC· r + \frac{1}{2}CA· r = \frac{1}{2}lr$.(可作为三角形内切圆的半径公式)
(1)理解与应用：利用公式计算边长分别为5、12、13的三角形内切圆半径；
(2)类比与推理：若四边形$ABCD$存在内切圆(与各边都相切的圆)，如图(2))且面积为$S$，各边长分别为$a$、$b$、$c$、$d$，试推导四边形内切圆的半径公式；
(3)拓展与延伸：若一个$n$边形($n$为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为$S$，各边长分别为$a_1$、$a_2$、$a_3$、$·s$、$a_n$，合理猜想其内切圆的半径公式(不需说明理由).

答案： 28.
(1)由勾股定理，知边长为5、12、13的三角形为直角三角形，故$S_△ABC = \frac{1}{2}×5×12 = 30，$l = 5 + 12 + 13 = 30.由$S_△ABC = \frac{1}{2}lr，$得$r = \frac{2S_△ABC}{l} = 2. (2)$设内切圆圆心为O，连接OA、OB、OC、OD，
∴S_四边形ABCD = S_△OAB + S_△OBC + S_△OCD + S_△OAD.又$ S_△OAB = \frac{1}{2}AB·r，$$S_△OBC = \frac{1}{2}BC·r，$$S_△OCD = \frac{1}{2}CD·r，$$S_△OAD = \frac{1}{2}AD·r，$
∴S_四边形$ABCD = \frac{1}{2}AB·r + \frac{1}{2}BC·r + \frac{1}{2}CD·r + \frac{1}{2}AD·r = \frac{1}{2}lr，$ 即$r = \frac{2S}{AB + BC + CD + AD} = \frac{2S}{a + b + c + d} (3)r = \frac{2S}{a_1 + a_2 + ·s + a_n}$