《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

24. (7分)如图,转盘$A$、$B$中的各个扇形的面积分别相等,转盘$A$的3个扇形中分别标有数字1、2、3,转盘$B$的3个扇形中分别标有数字4、5、6.
(1)现任意转动转盘$A$1次(若指针落在扇形的边界线上,则重转1次),当转盘停止转动时,则指针落在标有数字1的扇形的概率为$\frac{1}{3}$;
(2)现任意转动转盘$A$、$B$各1次(若指针落在扇形的边界线上,则重转1次),当转盘停止转动时,求转盘$A$、$B$的指针所落扇形中的两个数字之和为奇数的概率.(请用画树状图或列表等方法说明理由)

答案： 24.[解析]本题主要考查了用概率公式求概率和用画树状图或列表的方法求概率.
(1)直接用求概率的方法求概率即可；
(2)列出表格，可以得出等可能的结果以及两个数字之和为奇数的结果，然后利用概率公式求概率即可.
解：
(1)$\frac{1}{3}$
(2)根据题意，列表如下：
$\begin{array}{c|ccc}&1&2&3\\\hline4&5&6&7\\5&6&7&8\\6&7&8&9\end{array}$
由表可知，共有$9$种等可能的结果，其中转盘$A$、$B$的指针所落扇形中的两个数字之和为奇数的有$5$种结果，所以转盘$A$、$B$的指针所落扇形中的两个数字之和为奇数的概率为$\frac{5}{9}$.

25. (8分)如图(1),一扇推拉式窗户,$AB$为固定的窗框底边,$AC$为该窗户开启的下沿一边,可绕点$A$旋转一定角度,$MN$为支撑杆,其中一端固定在窗户下沿边$AC$上的点$M$处,另一端点$N$在窗框底边$AB$上滑动(窗户关闭时,$AC$、$MN$叠合在$AB$边上),支撑杆$MN$的长度固定不变.窗户打开一定角度后,$AC$即与$AB$构成一个旋转角$\angle CAB$,其俯视平面图如图(2)所示,窗户的旋转角$\angle CAB$的大小控制在一定范围内,即$0^{\circ}\leqslant\angle CAB\leqslant160^{\circ}$,$MN = 20\mathrm{cm}$.
(1)现将窗户打开至旋转角$\angle CAB = 45^{\circ}$时,第一次测得$\angle MNA = 30^{\circ}$,求此时$AN$的长;
(2)在(1)的基础上,继续打开窗户,即$AC$绕点$A$逆时针旋转,旋转角$\angle CAB$从$45^{\circ}$开始逐渐增大,旋转后点$M$、$N$的对应点分别为点$M'$、$N'$,直至第二次测得$\angle M'N'A = 30^{\circ}$时停止,求端点$N$在此过程中滑动的长度.(结果均保留根号)

答案：
25.[解析]本题考查解直角三角形的应用、勾股定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.
(1)过点$M$作$MH\perp AB$于点$H$，解直角三角形求出$AH$、$HN$即可；
(2)作$M^{\prime}H^{\prime}\perp BA$交$BA$的延长线于点$H^{\prime}$，解直角三角形求出$AN^{\prime}$可得结论.
解：
(1)如图
(1)，过点$M$作$MH\perp AB$于点$H$.

在$Rt\triangle MNH$中，$\angle MNH = 30^{\circ}$，$MN = 20 cm$，$\therefore MH=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}×20 = 10( cm)$，$HN=\sqrt{3}MH = 10\sqrt{3}( cm)$.
在$Rt\triangle AMH$中，$\angle MAH = 45^{\circ}$，$\therefore MH = AH = 10( cm)$，$\therefore AN = AH + HN =(10 + 10\sqrt{3}) cm$.
(2)如图
(2)，作$M^{\prime}H^{\prime}\perp BA$交$BA$的延长线于点$H^{\prime}$.在$Rt\triangle M^{\prime}N^{\prime}H^{\prime}$中，$\angle M^{\prime}N^{\prime}H^{\prime}=30^{\circ}$，$M^{\prime}N^{\prime}=\frac{1}{2}×20 = 10( cm)$，$H^{\prime}N^{\prime}=\sqrt{3}M^{\prime}H^{\prime}=10\sqrt{3}( cm)$.
在$Rt\triangle AM^{\prime}H^{\prime}$中，$AH^{\prime}=\sqrt{AM^{\prime 2}-M^{\prime}H^{\prime 2}}=\sqrt{10^{2}-10^{2}} = 10( cm)$，
$\therefore AN^{\prime}=H^{\prime}N^{\prime}-AH^{\prime}=(10\sqrt{3}-10) cm$，
$\therefore$端点$N$在此过程中滑动的长度为$(10 + 10\sqrt{3})-(10\sqrt{3}-10)=20( cm)$.