《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

12. 在$\triangle ABC$中，$\angle B = 30°$，$AB = 6$. 若$\angle C$为钝角，则$AC$的取值范围是$3 ＜ AC ＜ 6$.

答案：
12.$3 ＜ AC ＜ 6$ [解析]本题主要考查了三角形内角和定理、正弦函数、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键.
如图，过A作$AD\perp BC$，则$\angle ADB=90^{\circ}$.

$\because \angle ACB$为钝角，$\angle B=30^{\circ}$，
$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=3,90^{\circ} ＜ \angle ACB ＜ 150^{\circ}$，
$\therefore 30^{\circ} ＜ \angle ACD ＜ 90^{\circ}$，$\therefore \frac{1}{2} ＜ \sin \angle ACD ＜ 1$.
$\because AC=\frac{AD}{\sin \angle ACD}$，$\therefore 3 ＜ AC ＜ 6$.

13. 学校举行舞蹈比赛，主要从服装、动作技巧、感染力三个方面打分，最终成绩中服装占 10％，动作技巧占 40％，感染力占 50％. 九年级(1)班和(2)班的成绩如下表，若 2 班要在最终成绩上超过 1 班，则他们的感染力得分$x$应超过90.

答案： 13.90 [解析]本题主要考查了加权平均数、一元一次不等式的应用等知识点，根据题意列出一元一次方程是解题的关键.
由题意，得$70 × 10\%+80 × 40\%+88 × 50\% ＜ 80 × 10\%+75 × 40\%+50\%x$，
解得$x ＞ 90$，
所以他们的感染力得分$x$应超过$90$分.

14. 一次函数$y = -2x + 4$的图像上有一个动点$(m,n)$，则$m^2 + n^2$的最小值是$\frac{16}{5}$.

答案： 14.$\frac{16}{5}$ [解析]本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，由题意，得$n=-2m+4$，即得$m^{2}+n^{2}=5m^{2}-16m+16$，再根据二次函数的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键.
$\because$点$(m,n)$在一次函数$y=-2x+4$的图像上，
$\therefore n=-2m+4$，
$\therefore m^{2}+n^{2}=m^{2}+(-2m+4)^{2}=5m^{2}-16m+16=5(m-\frac{8}{5})^{2}+\frac{16}{5}$.
$\because 5 ＞ 0$，$\therefore$当$m=\frac{8}{5}$时，$m^{2}+n^{2}$的值最小，最小值为$\frac{16}{5}$.

15. 玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为$128\pi$$cm^3$.

答案：
15.$128\pi$ [解析]本题考查组合体的体积，将图中组合体分成上下两部分，上半部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱，再根据圆柱的体积公式即可求解.
如图，将水的体积分成上下两部分，上半部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱.

上半部分的体积为$V_{1}=\frac{1}{2} × \pi × 4^{2} × (12-4)=64\pi(cm^{3})$，
下半部分的体积为$V_{2}=4^{2} × \pi × 4=64\pi(cm^{3})$，
故杯中水的体积为$V_{1}+V_{2}=64\pi+64\pi=128\pi(cm^{3})$.

16. 在扇形$OAB$中，$\angle AOB = 90°$，$\triangle BCD$内接于扇形，$\angle C = 90°$，位置如图所示. 若$BC = 4$，$CD = 2$，则扇形$OAB$的面积为$\frac{5+\sqrt{5}}{2}\pi$.

答案：
16.$\frac{5+\sqrt{5}}{2}\pi$ [解析]本题考查了线段垂直平分线的性质，圆周角定理，扇形的面积等.
如图，延长$BO$、$CD$，相交于点$E$.

$\because \angle C=90^{\circ}$，$\therefore BE$是$\odot O$的直径.
$\because BC=4,CD=2$，$\therefore BD=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$.
$\because \angle AOB=90^{\circ}$，$\therefore AO$垂直平分$BE$，
$\therefore ED=BD=2\sqrt{5}$，$\therefore CE=2\sqrt{5}+2$，
$\therefore BE^{2}=CE^{2}+BC^{2}=(2\sqrt{5}+2)^{2}+4^{2}=40+8\sqrt{5}$，
$\therefore OB^{2}=(\frac{1}{2}BE)^{2}=\frac{1}{4}BE^{2}=\frac{1}{4} × (40+8\sqrt{5})=10+2\sqrt{5}$，$S_{扇形OAB}=\frac{90\pi × (10+2\sqrt{5})}{360}=\frac{5+\sqrt{5}}{2}\pi$.

17. (8 分)解不等式组$\begin{cases} 2(x - 1) ＞ 3x - 1, \\ x - 2 \leq 1, \end{cases}$并写出该不等式组的最大整数解.

答案： 17.[解析]本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，进而根据不等式组的解集即可求出最大整数解，正确求出不等式组的解集是解题的关键.
解：$\begin{cases} 2(x-1) ＞ 3x-1①, \\ x-2\leq 1②, \end{cases}$
由①，得$x ＜ -1$，由②，得$x\leq 3$，
$\therefore$不等式组的解集为$x ＜ -1$，
$\therefore$不等式组的最大整数解为$-2$.

18. (7 分)计算：$( x + 3 - \frac{7}{x - 3} ) ÷ \frac{x + 4}{x - 3}$.

答案： 18.[解析]本题考查分式的混合运算，先将括号内分式通分，分子因式分解，变分式除法为乘法，最后约分化简即可.
解：$(x+3-\frac{7}{x-3}) ÷ \frac{x+4}{x-3}$
$=\frac{(x+3)(x-3)-7}{x-3} · \frac{x-3}{x+4}$
$=\frac{(x+4)(x-4)}{x-3} · \frac{x-3}{x+4}$
$=x-4$.

19. (8 分)为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树 960 棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵树是原计划的$\frac{3}{2}$倍，结果提前 4 天完成任务，原计划每天种树多少棵?

答案： 19.[解析]设原计划每天种树$x$棵，则实际每天种树$\frac{3}{2}x$棵，根据实际比原计划提前$4$天完成任务，列方程求解.
解：设原计划每天种树$x$棵，则实际每天种树为$\frac{3}{2}x$棵.
由题意，得$\frac{960}{x}-\frac{960}{\frac{3}{2}x}=4$，解得$x=80$，
经检验，$x=80$是原方程的解，且符合题意.
故原计划每天种树$80$棵.