《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

14.（10分）（2023·德州中考）如图，$AC$为四边形$ABCD$的对角线，$\angle CAD = 60^{\circ}$，$\angle ACD = 35^{\circ}$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\triangle ABC$的外接圆交$CD$于点$E$，$AC$所对的圆心角的度数为$120^{\circ}$.
（1）求证：$AD$是$\triangle ABC$的外接圆的切线；
（2）若$\triangle ABC$的外接圆的半径为3，求$\overset{\frown}{CE}$的长.

答案：
14.
(1)如图，设圆心为点O，连接OC。　　　　　　　　
∵AC所对圆心角的度数为$120^{\circ}$，
∴$\angle AOC=120^{\circ}$。
∵$OA=OC$，
∴$\angle OAC=\angle OCA=30^{\circ}$。
∵$\angle CAD=60^{\circ}$，
∴$\angle OAD=\angle OAC+\angle CAD=90^{\circ}$，
∴$OA\perp AD$。
∵$\angle ACB=90^{\circ}$，
∴AB是⊙O的直径，
∴AD是△ABC外接圆的切线。　　
(2)如图，连接OE。
∵$\angle OCA=30^{\circ},\angle ACD=35^{\circ}$，
∴$\angle OCD=\angle OCA+\angle ACD=30^{\circ}+35^{\circ}=65^{\circ}$。
∵$OC=OE$，
∴$\angle OEC=\angle OCD=65^{\circ}$，
∴$\angle COE=180^{\circ}-\angle OCE-\angle OEC=180^{\circ}-65^{\circ}-65^{\circ}=50^{\circ}$。
∴CE的长=$\frac{50×\pi×3}{180}=\frac{5\pi}{6}$。

15.（12分）分类讨论思想（南京十三中特长生）如图，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，$AB = 6$，射线$AC$上有一个动点$D$，以$D$为圆心，作$\odot D$与$AB$相切，切点为$E$，$\odot D$与射线$DC$交于点$F$，连接$EF$，作$MF\bot EF$，交直线$BC$于点$M$，设半径为$r$.
（1）证明：$AE = EF$；
（2）当$\odot D$与$BC$相切时，求$r$；
（3）当$M$在$\odot D$内时，求$r$的取值范围.

答案：
15.
(1)如图
(1)，连接DE。　　　　　
∵⊙D与AB相切于点E，
∴$\angle AED=90^{\circ}$。　又$\angle A=30^{\circ}$，
∴$\angle ADE=60^{\circ}$。
∵$DE=DF$，
∴$\angle DEF=\angle DFE$。　又$\angle DEF+\angle DFE=\angle ADE$，
∴$\angle DEF=\angle DFE=30^{\circ}$，
∴$\angle A=\angle DFE$，
∴$AE=EF$。　　
(2)
∵$\angle C=90^{\circ},\angle A=30^{\circ},AB=6$，
∴$AC=3\sqrt{3},BC=3$。　①当点D在线段AC上时。
∵$AD=2r,CD=r$，
∴$2r+r=3\sqrt{3}$，
∴$r=\sqrt{3}$。　②当点D在线段AC的延长线上时。
∵$AD=2r,CD=r$，
∴$2r-r=3\sqrt{3}$，
∴$r=3\sqrt{3}$。　综上所述，$r=\sqrt{3}$或$3\sqrt{3}$。　
(3)①当点D在线段AC上，⊙D与BC相切，点M与点C重合，此时$r=\sqrt{3}$。　②如图
(2)，当点M在⊙D上时，连接EM。
∵$\angle MFE=90^{\circ}$，　　　　　　　　　　　　　　　　
∴EM为直径，
∴EM过点D。
∵$\angle MDF=\angle ADE=60^{\circ},DM=DF$，
∴△MDF为等边三角形。　又$MC\perp DF$，
∴$DF=2DC$。
∵$AD=2r,CD=3\sqrt{3}-2r,DF=r$，
∴$r=2(3\sqrt{3}-2r)$，解得$r=\frac{6\sqrt{3}}{5}$。　　综上所述，$r$的取值范围为$\sqrt{3}＜r＜\frac{6\sqrt{3}}{5}$。

16.(14分)中考新考法 新定义问题 在等腰三角形$ABC$中，当顶角$\angle A$的大小确定时，它的对边(即底边$BC$)与邻边(即腰$AB$或$AC$)的比值也确定，我们把这个比值记作$T(A)$，即$T(A)=\frac{\angle A 的对边(底边)}{\angle A 的邻边(腰)}=\frac{BC}{AB}$，如$T(60^{\circ}) = 1$.
(1)理解巩固：$T(90^{\circ}) =$$\sqrt{2}$，$T(120^{\circ}) =$$\sqrt{3}$；若$\alpha$是等腰三角形的顶角，则$T(\alpha)$的取值范围是$0＜T(\alpha)＜2$；
(2)学以致用：如图，圆锥的母线长为9，底面直径$PQ = 8$，一只蚂蚁从点$P$沿着圆锥的侧面爬行到点$Q$，求蚂蚁爬行的最短路径长(精确到0.1. 参考数据：$T(160^{\circ})\approx1.97$，$T(80^{\circ})\approx1.29$，$T(40^{\circ})\approx0.68$).

答案：
16.
(1)$\sqrt{2}$　$\sqrt{3}$　$0＜T(\alpha)＜2$　[解析]如图
(1)，$\angle A=90^{\circ}$，$AB=AC$，则$BC=\sqrt{2}AB$，
∴$T(90^{\circ})=\frac{BC}{AB}=\sqrt{2}$；
　
如图
(2)，$\angle BAC=120^{\circ},AB=AC$，
　　过点A作$AD\perp BC$于点D，
　则在$Rt\triangle ABD$中，$\angle B=30^{\circ}$，$BD=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$，
∴$BC=2BD=\sqrt{3}AB$，
∴$T(120^{\circ})=\frac{BC}{AB}=\sqrt{3}$。
∵$AB-AC＜BC＜AB+AC$，
∴$0＜\frac{BC}{AB}＜2$，即$0＜T(\alpha)＜2$。
(2)
∵圆锥的底面直径$PQ=8$，
∴圆锥的底面周长为$8\pi$，即侧面展开图扇形的弧长为$8\pi$。设扇形的圆心角为$n^{\circ}$，则$\frac{n×\pi×9}{180}=8\pi$，解得$n=160$。由题意，得蚂蚁爬行路径所对应的圆心角为整个扇形圆心角的一半，即$80^{\circ}$。又$T(80^{\circ})\approx1.29$，
∴蚂蚁爬行的最短路径长为$1.29×9\approx11.6$。