《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

15. (2023·河北中考)将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图(1)，正六边形边长为$2$且各有一个顶点在直线$l$上.两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图(2)，其中中间正六边形的一边与直线$l$平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则图(2)中：
(1)$\angle \alpha =$30度；
(2)中间正六边形的中心到直线$l$的距离为$2\sqrt{3}$.(结果保留根号)

答案：
15.
(1)30 [解析]作图如图：

$\because$多边形是正六边形，$\therefore\angle ACB = 60^{\circ}$.
$\because BC//$直线$l$，$\therefore\angle ABC = 90^{\circ}$，$\therefore\alpha = 30^{\circ}$.
(2)$2\sqrt{3}$ [解析]取中间正六边形的中心为$O$，作图如图所示，由题意，得$AG// BF$，$AB// GF$，$BF\perp AB$，
$\therefore$四边形$ABFG$为矩形，$\therefore AB = GF$.
$\because\angle BAC=\angle FGH$，$\angle ABC=\angle GFH = 90^{\circ}$，
$\therefore\triangle ABC\cong\triangle GFH(ASA)$，$\therefore BC = FH$.
在$ Rt\triangle PDE$中，易得$DE = 1$，$PE = \sqrt{3}$，
由题意，得$AG = BF = 2PE = 2\sqrt{3}$，$OM = PE = \sqrt{3}$.
$\because BC=\frac{1}{2}(BF - CH)=\sqrt{3}-1$，
$\therefore AB=\frac{BC}{\tan\angle BAC}=\frac{\sqrt{3}-1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3-\sqrt{3}$，
$\therefore BD = 2 - AB=\sqrt{3}-1$.
$\because DE = 1$，$\therefore BE = BD + DE=\sqrt{3}$，
$\therefore ON = OM + BE = 2\sqrt{3}$.
$\therefore$中间正六边形的中心到直线$l$的距离为$2\sqrt{3}$.

16. 新情境 构建抛物线模型(2024·陕西中考)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥，桥梁的缆索$L_1$与缆索$L_2$均呈抛物线型，桥塔$AO$与桥塔$BC$均垂直于桥面，如图所示，以$O$为原点，以直线$FF'$为$x$轴，以桥塔$AO$所在直线为$y$轴，建立平面直角坐标系.已知：缆索$L_1$所在抛物线与缆索$L_2$所在抛物线关于$y$轴对称，桥塔$AO$与桥塔$BC$之间的距离$OC = 100\ m$，$AO = BC = 17\ m$，缆索$L_1$的最低点$P$到$FF'$的距离$PD = 2\ m$.(桥塔的粗细忽略不计)

(1)求缆索$L_1$所在抛物线的函数表达式；
(2)点$E$在缆索$L_2$上，$EF\perp FF'$，且$EF = 2.6\ m$，$FO ＜ OD$，求$FO$的长.

答案： 16.
(1)$\because AO = 17 m$，$\therefore A(0,17)$.
又$OC = 100 m$，缆索$L_{1}$的最低点$P$到$FF'$的距离$PD = 2 m$，故可设抛物线为$y=a(x - 50)^{2}+2$.
将$A(0,17)$代入抛物线，可得$2500a + 2 = 17$，$\therefore a=\frac{3}{500}$，
$\therefore$缆索$L_{1}$所在抛物线的函数表达式为$y=\frac{3}{500}(x - 50)^{2}+2$.
(2)$\because$缆索$L_{1}$所在抛物线与缆索$L_{2}$所在抛物线关于$y$轴对称，又缆索$L_{1}$所在抛物线为$y=\frac{3}{500}(x - 50)^{2}+2$，
$\therefore$缆索$L_{2}$所在抛物线为$y=\frac{3}{500}(x + 50)^{2}+2$.
令$y = 2.6$，$\therefore2.6=\frac{3}{500}(x + 50)^{2}+2$，
$\therefore x = - 40$或$x = - 60$.
又$FO ＜ OD = 50 m$，$\therefore x = - 40$.$\therefore FO$的长为$40 m$.

17. (2024·山西中考)研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动.同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据.
数据采集：如图，点$A$是纪念碑顶部一点，$AB$的长表示点$A$到水平地面的距离.航模从纪念碑前水平地面的点$M$处竖直上升，飞行至距离地面$20$米的点$C$处时，测得点$A$的仰角$\angle ACD = 18.4°$；然后沿$CN$方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角$\angle NCD = 37°$，当到达点$A$正上方的点$E$处时，测得$AE = 9$米.
已知图中各点均在同一竖直平面内，$E$、$A$、$B$三点在同一直线上.请根据上述数据，计算纪念碑顶部点$A$到地面的距离$AB$的长.(结果精确到$1$米.参考数据：$\sin 37° \approx 0.60$，$\cos 37° \approx 0.80$，$\tan 37° \approx 0.75$，$\sin 18.4° \approx 0.32$，$\cos 18.4° \approx 0.95$，$\tan 18.4° \approx 0.33$)

答案：
17.如图，延长$CD$交$AB$于点$H$.
由题意，得四边形$CMBH$为矩形，
$\therefore CM = HB = 20$米.
在$ Rt\triangle ACH$中，$\angle AHC = 90^{\circ}$，$\angle ACH = 18.4^{\circ}$，
$\therefore\tan\angle ACH=\frac{AH}{CH}$，
$\therefore CH=\frac{AH}{\tan\angle ACH}=\frac{AH}{\tan18.4^{\circ}}\approx\frac{AH}{0.33}$
在$ Rt\triangle ECH$中，$\angle EHC = 90^{\circ}$，$\angle ECH = 37^{\circ}$，
$\therefore\tan\angle ECH=\frac{EH}{CH}$，
$\therefore CH=\frac{EH}{\tan\angle ECH}=\frac{EH}{\tan37^{\circ}}\approx\frac{EH}{0.75}$
设$AH = x$米，
$\therefore EH = (x + 9)$米，

$\because\frac{x}{0.33}=\frac{x + 9}{0.75}$，
解得$x\approx7.1$，
$\therefore AB = AH + HB\approx7.1 + 20 = 27.1\approx27$(米).
故点$A$到地面的距离$AB$的长约为$27$米.