《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

1. 如图,在$Rt\triangle ABC$中$,\angle C = 90^{\circ},AB = 13,BC = 12$,则下列三角函数表示正确的是(A).


A.$\sin A = \frac{12}{13}$
B.$\cos A = \frac{12}{13}$
C.$\tan A = \frac{5}{12}$
D.$\tan B = \frac{12}{5}$
(第1题) (第2题) (第3题) (第4题)

答案： 1.A [解析]
∵∠C = 90°,AB = 13,BC = 12,
∴AC = $\sqrt{AB^2 - BC^2}$ = $\sqrt{13^2 - 12^2}$ = 5.
A. $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{13}$,故本选项正确;
B. $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{13}$,故本选项错误;
C. $\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{12}{5}$,故本选项错误;
D. $\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{12}$,故本选项错误. 故选A.

2. 跨学科 摩擦力与重力 (2025·泰州姜堰区期末改编)一块木块静止在斜面上,其受力分析如图所示,重力$G$的方向竖直向下($OG\perp AD$),支持力$N$的方向与斜面垂直($ON\perp AB$),摩擦力$f$的方向与斜面平行($OC// AB$).若摩擦力$f$与重力$G$方向的夹角$\angle 1 = 120^{\circ}$,则斜面的坡角$\angle 2$的正弦值是(B).

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案：
2.B [解析]
∵OC//AB,
∴∠1 + ∠OEB = 180°.

∵∠1 = 120°,
∴∠OEB = 180° - 120° = 60°,
∴∠AEG = 60°.
∵OG⊥AD,
∴∠2 = 90° - 60° = 30°,
∴$\sin \angle 2 = \frac{1}{2}$. 故
选B.

3. 面积法 (2023·陕西中考)如图,在$6×7$的网格中,每个小正方形的边长均为1.若点$A$、$B$、$C$都在格点上,则$\sin B$的值为(A).

A.$\frac{2\sqrt{13}}{13}$
B.$\frac{3\sqrt{13}}{13}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{\sqrt{5}}{4}$

答案：
3.A [解析]如图,过点A作AD⊥BC,则∠ADB = 90°.
对于网格中的三角形数值,一般利用勾股
定理和面积法来求

∵$S_{\triangle ABC} = 4 × 5 - \frac{1}{2} × 1 × 5 - \frac{1}{2} × 1 × 3 - \frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$,
$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} BC · AD$,
∴$\frac{1}{2} × 4 \sqrt{2} × AD = 8$,
∴AD = $2\sqrt{2}$.
∵AB = $\sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{26}$,
∴$\sin B = \frac{AD}{AB} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{26}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$. 故选A.

4. (2025·无锡外国语学校期末)如图$,\angle ABC$是放置在正方形网格中的一个角,$A$、$B$、$C$都是格点,则$\cos\angle ABC$的值为(C).

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\sqrt{5}$

答案：
4.C [解析]如图,连接AC.

由网格,可得AC = $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$,AB = $\sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$,BC = $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$,
∴$AB^2 + AC^2 = BC^2$,
∴△ABC是直角三角形,且∠CAB = 90°,
∴$\cos \angle ABC = \frac{AB}{BC} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$. 故选C.

5. (2024·云南中考)如图,在$\triangle ABC$中,若$\angle B = 90^{\circ},AB = 3,BC = 4$,则$\tan A$等于(C).


A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
(第5题) (第6题) (1) (2) (第8题)

答案： 5.C [解析]
∵在△ABC中,∠B = 90°,AB = 3,BC = 4,
∴$\tan A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{3}$. 故选C.

6. 教材P101例1·变式 (2024·临夏州中考)如图,在$\triangle ABC$中$,AB = AC = 5,\sin B = \frac{4}{5}$,则$BC$的长是(B).
A. 3
B. 6
C. 8
D. 9

答案： 6.B [解析]过点A作BC的垂线,垂足为M,
在Rt△ABM中,$\sin B = \frac{AM}{AB}$,
∴AM = 5 × $\frac{4}{5}$ = 4,
∴BM = $\sqrt{5^2 - 4^2} = 3$. 又AB = AC,
∴BC = 2BM = 6.
故选B.

7. 传统文化 赵爽弦图 (2024·资阳中考)第14届国际数学教育大会(ICME - 14)会标如图(1)所示,会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”.如图(2)所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形($\triangle ABE$、$\triangle BCF$、$\triangle CDG$、$\triangle DAH$)和一个小正方形$EFGH$拼成的大正方形$ABCD$.若$EF:AH = 1:3$,则$\sin\angle ABE$等于(C).

A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

答案： 7.C [解析]根据题意,设EF = x,则AH = 3x.
△ABE≌△DAH,四边形EFGH为正方形,
∴AH = BE = 3x,EF = HE = x,
∴AE = 4x.
∵∠AEB = 90°,AB = $\sqrt{AE^2 + BE^2} = 5x$,
∴$\sin \angle ABE = \frac{AE}{AB} = \frac{4x}{5x} = \frac{4}{5}$. 故选C.