《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

10. 实验班原创 请你写出一个有一根为2的一元二次方程:$x^{2}=4($答案不唯一).

答案： 10.$x^{2}=4$(答案不唯一)
⇒首先满足是一元二次方程，其次让这个方程的一
个根是2

11.方程$x(x - 3) = x$的根是$x_1=0，$$x_2=4$.

答案： 11.$x_1=0$，$x_2=4$ [解析]移项，得$x(x-3)-x=0$，提取公
因式，得$x(x-3-1)=0$，
即$x(x-4)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=4$.

12. 换元法 (2025·盐城阜宁期中)已知$(a ^ { 2 } + b ^ { 2 })(a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 3) = 10$,则$a ^ { 2 } + b ^ { 2 } =$5.

答案： 12.5 [解析]设$a^{2}+b^{2}=n$，
⇒整体换元
则$n(n-3)=10$，$n^{2}-3n-10=0$，$(n-5)(n+2)=0$，
∴$n_1=5$，$n_2=-2$.
∵$a^{2}+b^{2}\geq0$，
∴$n\geq0$，
∴$n=5$，即$a^{2}+b^{2}=5$.
归纳总结 本题主要考查了运用因式分解法解一元二次方
程，正确掌握换元法是解答本题的关键.

13. 教材P33复习题T5·变式 若关于$x$的一元二次方程$m x ^ { 2 } + x + m ^ { 2 } + 3 m = 0$有一个根为零,则$m$的值是
-3.

答案： 13.$-3$ [解析]把$x=0$代入方程$mx^{2}+x+m^{2}+3m=0$，得
$m^{2}+3m=0$，解得$m=0$或$m=-3$.
∵方程为一元二次方程，
∴$m\neq0$，
∴$m=-3$.

14.(广东广州大学附中自主招生)若关于$x$的一元二次方程$(1 - 2k)x ^ { 2 } - 2 \sqrt { k + 1 } x - 1 = 0$有两个不相等的
实数根,则$k$的取值范围是-1≤k＜2且k≠\frac{1}{2}.

答案： 14.$-1\leq k＜2$且$k\neq\frac{1}{2}$ [解析]由题意，得
$\begin{cases}1-2k\neq0,\\k+1\geq0,\\4(k+1)+4(1-2k)＞0,\end{cases}$
解得$-1\leq k＜2$且$k\neq\frac{1}{2}$.

15.对于任意实数$a$、$b$,我们定义新运算“$*$”为$a*b = a ^ { 2 } + 2 a b - b ^ { 2 }$,例如$3*5 = 3 ^ { 2 } + 2 × 3 × 5 - 5 ^ { 2 } = 14$.若
$m$、$n$是方程$(x + 2) * 3 = 0$的两根,则$\frac { n } { m } + \frac { m } { n }$的值为$\frac{86}{7}$.

答案： 15.$\frac{86}{7}$ [解析]由题意，得$(x+2)×3=0$即为$(x+2)^{2}+6(x+2)-9=0$，
化简，得$x^{2}+10x+7=0$.
∵$m$、$n$是该方程的两根，
∴$m+n=-10$，$mn=7$，
∴$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}=\frac{(m+n)^{2}-2mn}{mn}=\frac{100-14}{7}=\frac{86}{7}$.

16.(2023·黄冈中考)已知一元二次方程$x ^ { 2 } - 3 x + k = 0$的两个实数根为$x_1$、$x_2$,若$x_1 x_2 + 2 x_1 + 2 x_2 = 1$,
则实数$k =$-5.

答案： 16.$-5$ [解析]
∵一元二次方程$x^{2}-3x+k=0$的两个实
数根为$x_1$、$x_2$，
∴$x_1+x_2=3$，$x_1· x_2=k$.
∵$x_1x_2+2x_1+2x_2=1$，
∴$k+2×3=1$，解得$k=-5$.
又方程有两个实数根，
∴$\Delta=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4k\geq0$，解得$k\leq\frac{9}{4}$
综上所述，实数$k=-5$.

17.(2025·河南安阳林州月考)某校“研学”活动小组在一次综合实践时,发现一种植物的主干长出若干数目
的支干,每个支干又长出相同数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是57,则这种植物每个支干
长出的小分支个数是7.

答案： 17.7 [解析]设这种植物每个支干长出$x$个小分支.
根据题意，得$1+x+x^{2}=57$，
整理，得$x^{2}+x-56=0$，
解得$x_1=-8$(不符合题意，舍去)，$x_2=7$，
故这种植物每个支干长出7个小分支.

18.若实数$a$、$b$分别满足$a ^ { 2 } - 3 a + 2 = 0$,$b ^ { 2 } - 3 b + 2 = 0$,且$a \neq b$,则$\frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } =$$\frac{3}{2}$.

答案： 18.$\frac{3}{2}$ [解析]
∵$a$、$b$分别满足$a^{2}-3a+2=0$，$b^{2}-3b+2=0$，且$a\neq b$，
∴$a$、$b$可以看作是一元二次方程$x^{2}-3x+2=0$的两个实数根，
∴$a+b=3$，$ab=2$，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{3}{2}$.

19.(8分)用适当的方法解下列方程:
(1)$x ^ { 2 } + 2 x = 2$;
(2)$(x - 1) ^ { 2 } - 7(x - 1) - 8 = 0$.

答案： 19.
(1)$x^{2}+2x=2$.
配方，得$x^{2}+2x+1=2+1$，即$(x+1)^{2}=3$，
解得$x_1=-1+\sqrt{3}$，$x_2=-1-\sqrt{3}$.
(2)$(x-1)^{2}-7(x-1)-8=0$，
因式分解，得$(x-1-8)(x-1+1)=0$，
即$(x-9)x=0$，解得$x_1=9$，$x_2=0$.

20.(8分) 中考新考法 新定义问题 请阅读下列材料:我们规定一种运算:$\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix} = a d - b c$,例如:$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} =2 × 5 - 3 × 4 = 10 - 12 = - 2$,按照这种运算的规定,请解答下列问题.
(1)直接写出$\begin{vmatrix} - 1 & 2 \\ - 2 & 0.5 \end{vmatrix}$的计算结果.
(2)当$x$取何值时,$\begin{vmatrix} x & 0.5 - x \\ 1 & 2 x \end{vmatrix} = 0$?
(3)若$\begin{vmatrix} 0.5 x - 1 & y \\ 8 & 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & - y \\ 0.5 & - 1 \end{vmatrix} = - 7$,直接写出$x$和$y$的值.

答案： 20.
(1)由题意，得$\frac{-1}{ -2 }=\frac{2}{0.5 }=-1×0.5-(-2)×2=-0.5+4=3.5$.
(2)由题意，得$2x^{2}-1×(0.5-x)=0$，
整理，得$4x^{2}+2x-1=0$，解得$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{4}$，
∴当$x$取$\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$或$\frac{-1-\sqrt{5}}{4}$时，$\begin{vmatrix}x & 0.5-x \\ 1 & 2x\end{vmatrix}=0$.
(3)由题意，得$\begin{vmatrix}0.5x-1 & y \\ 8 & 3\end{vmatrix}=3(0.5x-1)-8y$，
由题意列方程组$\begin{cases}x & -y \\ 0.5 & -1\end{cases}=-x+0.5y$，
$\begin{cases}3(0.5x-1)-8y=-7,\\-x+0.5y=-7,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=8,\\y=2.\end{cases}$