《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

9. 教材P32习题T3·拓展(2024·泰安中考)如图,小明的父亲想用长为60米的栅栏,再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园,已知房屋外墙长40米,则可围成的菜园的最大面积是450平方米.

答案： 9. 450 [解析]由题意，设垂直于墙的边长为$x$米，则平行于墙的边长为$(60-2x)$米，又墙长为$40$米，
$\therefore0＜60-2x\leqslant40$，$\therefore10\leqslant x＜30$. 又菜园的面积$=x(60-2x)=-2x^{2}+60x=-2(x-15)^{2}+450$，
即垂直于墙的边长为$15$米时，可围成的菜园的最大面积是$450$平方米.

10. 实验班原创 把二次函数$y = 2x^2$的图像向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,平移后抛物线的表达式为$y=2(x-1)^{2}-2$.

答案： 10. $y=2(x-1)^{2}-2$ [解析]由“左加右减”的原则可知，将二次函数$y=2x^{2}$的图像向右平移$1$个单位长度所得抛物线的表达式为$y=2(x-1)^{2}$；由“上加下减”的原则可知，将抛物线$y=2(x-1)^{2}$向下平移$2$个单位长度所得抛物线的表达式为$y=2(x-1)^{2}-2$.
归纳总结 本题主要考查了二次函数的图像与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减. 并用规律求函数表达式.

11. (2025·徐州模拟)在平面直角坐标系中,将抛物线$y = (x - 2024)(x - 2026) + 6$向下平移6个单位长度,所得的新抛物线与$x$轴有两个公共点$P$、$Q$,则点$P$与点$Q$之间的距离为2.

答案： 11. $2$ [解析]将二次函数$y=(x-2024)(x-2026)+6$的图像向下平移$6$个单位长度，所得抛物线的解析式为$y=(x-2024)(x-2026)$，令$y=0$，则$(x-2024)(x-2026)=0$，
$\therefore x-2024=0$或$x-2026=0$，
解得$x=2024$或$2026$，$\therefore PQ=2026-2024=2$.

12. 新情境 投掷实心球(2024·广西中考)如图,壮壮同学投掷实心球,出手(点$P$处)的高度$OP$是$\frac{7}{4}m$，出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是5 m,高度是4 m.若实心球落地点为$M$,则$OM =$$\frac{35}{3}$$m$.

答案：
12. $\frac{35}{3}$ [解析]如图，以$O$为坐标原点，$OM$为$x$轴正半轴，$OP$为$y$轴正半轴，建立平面直角坐标系.

由题意可知，$P(0,\frac{7}{4})$，$B(5,4)$，其中点$B$为抛物线顶点，设抛物线顶点式为$y=a(x-5)^{2}+4$.
将$P(0,\frac{7}{4})$代入上式，解得$a=-\frac{9}{100}$，
即抛物线的表达式为$y=-\frac{9}{100}(x-5)^{2}+4$.
$\because M$为抛物线与$x$轴的交点，
$\therefore$令$y=0$，得$-\frac{9}{100}(x-5)^{2}+4=0$，
解得$x_{1}=\frac{35}{3}$，$x_{2}=-\frac{5}{3}$（舍），$\therefore OM=\frac{35}{3}\ {m}$.

13. (2024·成都中考)在平面直角坐标系$xOy$中,$A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$、$C(x_3, y_3)$是二次函数$y = -x^2 + 4x - 1$图像上三点.若$0 ＜ x_1 ＜ 1, x_2 ＞ 4$，则$y_1$＞$y_2$(填“$＞$”或“$＜$”);若对于$m ＜ x_1 ＜ m + 1$，$m + 1 ＜ x_2 ＜ m + 2$，$m + 2 ＜ x_3 ＜ m + 3$，存在$y_1 ＜ y_3 ＜ y_2$，则$m$的取值范围是$-\frac{1}{2}＜m＜1$.

答案： 13. $＞$$-\frac{1}{2}＜m＜1$ [解析]$\because y=-x^{2}+4x-1=-(x-2)^{2}+3$，$\therefore$二次函数$y=-x^{2}+4x-1$图像的对称轴为直线$x=2$，开口向下.
$\because0＜x_{1}＜1$，$x_{2}＞4$，$\therefore2-x_{1}＜x_{2}-2$，
即$(x_{1},y_{1})$比$(x_{2},y_{2})$离对称轴的距离近，$\therefore y_{1}＞y_{2}$.
$\because m＜x_{1}＜m+1$，$m+1＜x_{2}＜m+2$，$m+2＜x_{3}＜m+3$，
$\therefore$对于$m＜x_{1}＜m+1$，$m+1＜x_{2}＜m+2$，$m+2＜x_{3}＜m+3$，存在$y_{1}＜y_{3}＜y_{2}$，
$\therefore x_{1}＜2$，$x_{3}＞2$，且点$A(x_{1},y_{1})$离对称轴最远，
点$B(x_{2},y_{2})$离对称轴最近，
$\therefore2-x_{1}＞x_{3}-2＞|x_{2}-2|$，
$\therefore x_{1}+x_{3}＜4$，且$x_{2}+x_{3}＞4$.
$\because2m+2＜x_{1}+x_{3}＜2m+4$，$2m+3＜x_{2}+x_{3}＜2m+5$，
$\therefore2m+2＜4$，且$2m+5＞4$，解得$-\frac{1}{2}＜m＜1$.

14. (2025·福建漳州期末)已知二次函数$y = (x - a)(x - b) + 1 (a、b$均是实数)，设该函数最小值为$k$，若$3 ＜ a ＜ 4$，$3 ＜ b ＜ 4$，则$k$的取值范围是$\frac{3}{4}＜k\leqslant1$.

答案： 14. $\frac{3}{4}＜k\leqslant1$ [解析]$y=(x-a)(x-b)+1=x^{2}-(a+b)x+ab+1$，
$\therefore$二次函数图像开口向上，对称轴为直线$x=\frac{a+b}{2}$.
当$x=\frac{a+b}{2}$时，二次函数有最小值，最小值为$k$，
$\therefore k=(\frac{a+b}{2}-a)(\frac{a+b}{2}-b)+1=-\frac{1}{4}(a-b)^{2}+1$.
由条件可知$-4＜-b＜-3$，$\therefore-1＜a-b＜1$.
设$a-b=m$，$\therefore k=-\frac{m^{2}}{4}+1$，$\therefore k$关于$m$的二次函数图像开口向下，对称轴直线为$m=0$，
$\therefore$当$m=0$时，$k=1$，
当$m=\pm1$时，$k=-\frac{1}{4}+1=\frac{3}{4}$，$\therefore\frac{3}{4}＜k\leqslant1$.

15. 分类讨论思想(2025·浙江金华五中期末)已知点$A(m, 2m) (m ＞ 2)$是二次函数$y = ax^2 + k (a ＞ 0)$图像上一点,当$m - 4 \leq x \leq m$时，二次函数的最大值和最小值分别为6和-2，则$a$的值为$\frac{8}{9}$.

答案： 15. $\frac{8}{9}$ [解析]把$A(m,2m)$代入$y=ax^{2}+k$中，得$2m=am^{2}+k$，故$k=2m-am^{2}$，从而函数解析式为$y=ax^{2}+2m-am^{2}$.
$\because a＞0$，$\therefore$二次函数开口向上，对称轴为直线$x=0$.
$\because m＞2$，$\therefore\frac{1}{2}(m-4+m)=m-2＞0$，$m-4＞-2$.
从而可分为：
①当$-2＜m-4\leqslant0$，即$2＜m\leqslant4$时，函数在$x=m$处取得最大值$6$，在$x=0$处取得最小值$-2$，$\therefore am^{2}+2m-am^{2}=6$，解得$m=3$，且$2m-am^{2}=-2$.
把$m=3$代入$2m-am^{2}=-2$中，解得$a=\frac{8}{9}$.
②当$m-4＞0$，即$m＞4$时，函数在$x=m$处取得最大值$6$，$\therefore am^{2}+2m-am^{2}=6$，解得$m=3$，这与$m＞4$矛盾，故不成立.
综上可得$a=\frac{8}{9}$.

16. (2023·无锡中考)二次函数$y = x^2 + (2m - 1)x + 2m (m \neq \frac{1}{2})$，有下列结论：①该函数图像过定点$(-1, 2)$；②当$m = 1$时,函数图像与$x$轴无交点；③函数图像的对称轴不可能在$y$轴的右侧；④当$1 ＜ m ＜ \frac{3}{2}$时,点$P(x_1, y_1)$、$Q(x_2, y_2)$是曲线上两点,若$-3 ＜ x_1 ＜ -2$，$-\frac{1}{2} ＜ x_2 ＜ 0$，则$y_1 ＞ y_2$.其中,正确结论的序号为①②④.

答案： 16. ①②④ [解析]$y=x^{2}+(2m-1)x+2m=x^{2}+2mx-x+2m=2m(x+1)+x^{2}-x$，当$x=-1$时，$y=2$，$\therefore$该函数图像过定点$(-1,2)$，故①正确；
当$m=1$时，$y=x^{2}+x+2$，$\because b^{2}-4ac=1-4×2=-7＜0$，$\therefore$函数图像与$x$轴无交点，故②正确；
抛物线的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{1-2m}{2}=\frac{1}{2}-m$，
$\because m\neq\frac{1}{2}$，$\therefore\frac{1}{2}-m\neq0$，当$m＞\frac{1}{2}$时，对称轴在$y$轴左侧，当$m＜\frac{1}{2}$时，对称轴在$y$轴右侧，故③错误；
$\because1＜m＜\frac{3}{2}$，$\therefore-1＜\frac{1}{2}-m＜-\frac{1}{2}$.
$\because P(x_{1},y_{1})$在对称轴左侧，$Q(x_{2},y_{2})$在对称轴右侧.
$\because a=1＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，在对称轴左侧，$y$随$x$增大而减小，在对称轴右侧，$y$随$x$增大而增大，
当$x=-2$时，$y_{1 最小}=4-4m+2+2m=-2m+6$，
当$x=0$时，$y_{2 最大}=2m$，此时，$y_{1}-y_{2}=-4m+6$.
$\because1＜m＜\frac{3}{2}$，$\therefore-4m+6＞0$，$\therefore y_{1}＞y_{2}$，故④正确.
归纳总结 本题主要考查了抛物线与$x$轴的交点、抛物线的顶点，明确这些点代表的意义及函数特征是解答本题的关键.

17. (2025·山东烟台蓬莱区期末)如图,已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$的对称轴为直线$x = -1$，顶点的纵坐标为$-\frac{25}{8}$，有下列说法：①$abc ＜ 0$；②$x ＜ 0$时，$y$的值随$x$值的增大而减小；③$3a + c ＞ 0$；④若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c - m = 0$有实数根，则$m ＞ -\frac{25}{8}$.其中正确的有①③.(填序号)

答案： 17. ①③ [解析]$\because$抛物线开口向上，与$y$轴交于负半轴，
$\therefore a＞0$，$c＜0$.
$\because$对称轴在$y$轴的左边，$\therefore b＞0$，$\therefore abc＜0$，故①正确；
由图像得，当$-1＜x＜0$时，$y$随$x$的增大而增大，故②错误；
抛物线对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-1$，$\therefore b=2a$.
由图像得，当$x=1$时，$y=a+b+c=3a+c＞0$，故③正确；
若关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c-m=0$有实数根，
$\therefore$关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=m$有实数根，
$\therefore m\geqslant-\frac{25}{8}$，故④错误.
$\therefore$其中正确的有①③.

18. 距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体,物体离地面的高度$h$(米)与物体运动的时间$t$(秒)之间满足函数关系$h = -5t^2 + mt + n$，其图像如图所示,物体运动的最高点离地面20米,物体从发射到落地的运动时间为3秒.设$w$表示0秒到$t$秒时$h$的值的“极差”(即0秒到$t$秒时$h$的最大值与最小值的差)，则当$0 \leq t \leq 1$时，$w$的取值范围是$0\leqslant w\leqslant5$；当$2 \leq t \leq 3$时，$w$的取值范围是$5\leqslant w\leqslant20$.

答案： 18. $0\leqslant w\leqslant5$ $5\leqslant w\leqslant20$ [解析]$\because$物体运动的最高点离地面$20$米，物体从发射到落地的运动时间为$3$秒，$\therefore$抛物线$h=-5t^{2}+mt+n$的顶点的纵坐标为$20$，且经过点$(3,0)$，$\therefore\begin{cases}\frac{4×(-5)n-m^{2}}{4×(-5)}=20,\\-5×3^{2}+3m+n=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}m_{1}=10,\\n_{1}=15\end{cases}$或$\begin{cases}m_{2}=50,\\n_{2}=-105,\end{cases}$（不合题意，舍去）
由图可知，当$t=0$时，$h＞0$，即$n＞0$
$\therefore$抛物线的表达式为$h=-5t^{2}+10t+15$.
$\because h=-5t^{2}+10t+15=-5(t-1)^{2}+20$，
$\therefore$抛物线的最高点的坐标为$(1,20)$.
$\because20-15=5$，$\therefore$当$0\leqslant t\leqslant1$时，$w$的取值范围是$0\leqslant w\leqslant5$；当$t=2$时，$h=15$，当$t=3$时，$h=0$.
$20-15=5$，$20-0=20$，$\therefore$当$2\leqslant t\leqslant3$时，$w$的取值范围是$5\leqslant w\leqslant20$.