《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

11.（8分）已知二次函数$ y = ax^2 + bx + 16 $的图像经过点$ (-2, 40) $和点$ (6, -8) $，求一元二次方程$ ax^2 + bx + 16 = 0 $的根。

答案： 11.将$(-2,40)$和$(6,-8)$代入$y = ax^{2}+bx + 16$，
得$\begin{cases}4a - 2b + 16 = 40\\36a + 6b + 16 = - 8\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = - 10\end{cases}$。
$\therefore$二次函数表达式为$y = x^{2}-10x + 16$。
当$y = 0$时，$x^{2}-10x + 16 = 0$，解得$x_{1} = 2$，$x_{2} = 8$。
$\therefore$一元二次方程$ax^{2}+bx + 16 = 0$的根为$x_{1} = 2$，$x_{2} = 8$。

12.（8分）（2025·南通崇川区期末）已知$ y $关于$ x $的二次函数$ y = -x^2 + 2mx - m^2 + 1 $。
（1）判断该二次函数的图像与$ x $轴的交点个数，并说明理由；
（2）若该二次函数的图像经过点$ (0, n) $和$ (2, n) $，当$ 0 \leq x \leq 3 $时，求$ y $的取值范围。

答案： 12.
(1)该二次函数的图像与$x$轴的交点有2个。
理由：令$- x^{2}+2mx - m^{2}+1 = 0$。
$\because\Delta = (2m)^{2}-4×(-1)×(-m^{2}+1) = 4m^{2}-4m^{2}+4 = 4 ＞ 0$，$\therefore$一元二次方程$- x^{2}+2mx - m^{2}+1 = 0$有两个不相等的实数根，
$\therefore$该二次函数的图像与$x$轴的交点有2个。
(2)$\because$该二次函数的图像经过点$(0,n)$和$(2,n)$，
$\therefore$该二次函数的图像的对称轴为直线$x = 1$，解得$m = 1$，$\therefore$该二次函数的解析式为$y = - x^{2}+2x$，该二次函数的图像的顶点坐标为$(1,1)$。
令$- x^{2}+2x = 0$，解得$x_{1} = 0$，$x_{2} = 2$。
$\therefore$该二次函数的图像与$x$轴的交点坐标为$(0,0)$，$(2,0)$。
将$x = 3$代入$y = - x^{2}+2x$，得$y = - 3$。
$\therefore$当$0\leq x\leq3$时，$y$的取值范围为$- 3\leq y\leq1$。

13.（10分）（2024·滨州中考）春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量$ y $（单位：张）与售价$ x $（单位：元/张）之间满足一次函数关系（$ 30 \leq x \leq 80 $，且$ x $是整数），部分数据如下表所示：

（1）请求出$ y $与$ x $之间的函数关系式。
（2）设该影院每天的利润（利润 = 票房收入 - 运营成本）为$ w $（单位：元），求$ w $与$ x $之间的函数关系式。
（3）该影院将电影票售价$ x $定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？

答案： 13.
(1)设$y$与$x$之间的函数关系式是$y = kx + b$。
由表格可得$\begin{cases}40k + b = 164\\50k + b = 124\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = - 4\\b = 324\end{cases}$。
即$y$与$x$之间的函数关系式是$y = - 4x + 324$（$30\leq x\leq80$，且$x$是整数）。
(2)由题意，得$w = x(- 4x + 324)-2000 = - 4x^{2}+324x - 2000$（$30\leq x\leq80$）。
(3)由
(2)知$w = - 4x^{2}+324x - 2000 = - 4(x - \frac{81}{2})^{2}+4561$。$\because30\leq x\leq80$，且$x$是整数，$\therefore$当$x = 40$或41时，$w$取得最大值，此时$w = 4560$。
故该影院将电影票售价$x$定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元。