《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

27. (10分)如图,一小球$M$从斜坡$OA$上的$O$点处抛出,球的抛出路线是抛物线的一部分,建立如图所示的平面直角坐标系,斜坡可以用一次函数$y = \frac{1}{2}x$刻画.若小球到达的最高点的坐标为$(4, 8)$，解答下列问题：

(1) 求抛物线的表达式.
(2) 小球落点为$A$,求点$A$的坐标.
(3) 在斜坡$OA$上的点$B$有一棵树,点$B$的横坐标为2,树高为4,小球$M$能否飞过这棵树？通过计算说明理由.
(4) 求小球$M$在飞行的过程中离斜坡$OA$的最大高度.

答案： 27.
(1)$\because$小球到达的最高点的坐标为$(4,8)$，
$\therefore$设抛物线的表达式为$y_{1}=a(x-4)^{2}+8$.
把$(0,0)$代入，得$0=a(0-4)^{2}+8$，解得$a=-\frac{1}{2}$，
$\therefore$抛物线的表达式为$y_{1}=-\frac{1}{2}(x-4)^{2}+8$.
(2)解方程$-\frac{1}{2}(x-4)^{2}+8=\frac{1}{2}x$，得$x_{1}=0$，$x_{2}=7$，当$x=7$时，$y=\frac{7}{2}$，$\therefore A(7,\frac{7}{2})$.
(3)当$x=2$时，$y=\frac{1}{2}x=1$，$y_{1}=-\frac{1}{2}(2-4)^{2}+8=6$.
$\because6-1＞4$，$\therefore$小球$M$能飞过这棵树.
(4)由题意，小球$M$在飞行的过程中离斜坡$OA$的高度为$h$为$h=-\frac{1}{2}(x-\frac{7}{2})^{2}+\frac{49}{8}$.
$\because$小球$M$在飞行的过程中离斜坡$OA$的最大高度为$\frac{49}{8}$.

28. (10分)如图,在平面直角坐标系$xOy$中,已知抛物线经过点$A(0, 4)$、$B(1, 0)$、$C(5, 0)$，抛物线的对称轴$l$与$x$轴相交于点$M$.

(1) 求抛物线的表达式和对称轴.
(2) 设点$P$为抛物线$(x ＞ 5)$上的一点,若以点$A$、$O$、$M$、$P$为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数,请你直接写出点$P$的坐标.
(3) 连接$AC$,探索：在直线$AC$下方的抛物线上是否存在一点$N$,使$\triangle NAC$的面积最大？若存在,请求出点$N$的坐标；若不存在,请说明理由.

答案：
28.
(1)根据已知条件可设抛物线的表达式为$y=a(x-1)·(x-5)$，
把$A(0,4)$代入$y=a(x-1)(x-5)$，得$a=\frac{4}{5}$，$\therefore y=\frac{4}{5}(x-1)(x-5)=\frac{4}{5}x^{2}-\frac{24}{5}x+4=\frac{4}{5}(x-3)^{2}-\frac{16}{5}$.
故抛物线的表达式为$y=\frac{4}{5}x^{2}-\frac{24}{5}x+4$，对称轴是直线$x=3$.
(2)由题意，知以$A$、$O$、$M$、$P$为顶点的四边形有两条边$AO=4$，$OM=3$.
$\because$点$P$的横坐标大于$5$，$\therefore MP＞2$，$AP＞5$.
$\therefore$四条边的长只能是$3$、$4$、$5$、$6$.
$\because$抛物线对称轴过点$M$，
$\therefore PM=5$，此时点$P$横坐标为$6$，$AP=6$.
故以$A$、$O$、$M$、$P$为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数$3$、$4$、$5$、$6$成立，即点$P$的坐标为$(6,4)$.
(3)在直线$AC$的下方的抛物线上存在点$N$，使$\triangle NAC$的面积最大. 设点$N$的横坐标为$t$，此时点$N(t,\frac{4}{5}t^{2}-\frac{24}{5}t+4)(0＜t＜5)$，如图，过
点$N$作$NG// y$轴交$AC$于点$G$. 由点$A(0,4)$和点$C(5,0)$，可求出直线$AC$的表达式为$y=-\frac{4}{5}x+4$. 把$x=t$代入，得$y=-\frac{4}{5}t+4$，
则$G(t,-\frac{4}{5}t+4)$.
此时$NG=-\frac{4}{5}t+4-(\frac{4}{5}t^{2}-\frac{24}{5}t+4)=-\frac{4}{5}t^{2}+4t$，
$\therefore S_{\triangle NAC}=\frac{1}{2}· NG· OC=$
实际是将$\triangle NAC$分为$\triangle ANG$和$\triangle CNG$.
$\frac{1}{2}(-\frac{4}{5}t^{2}+4t)×5=-2t^{2}+10t=-2(t-\frac{5}{2})^{2}+\frac{25}{2}$.
$\therefore$当$t=\frac{5}{2}$时，$\triangle NAC$的面积最大，最大值为$\frac{25}{2}$.
由$t=\frac{5}{2}$，得$y=-\frac{4}{5}t^{2}-\frac{24}{5}t+4=-3$，$\therefore N(\frac{5}{2},-3)$.