《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

18. (2024·重庆中考)如图，甲、乙两艘货轮同时从$A$港出发，分别向$B$、$D$两港运送物资，最后到达$A$港正东方向的$C$港装运新的物资.甲货轮沿$A$港的东南方向航行$40$海里后到达$B$港，再沿北偏东$60°$方向航行一定距离到达$C$港.乙货轮沿$A$港的北偏东$60°$方向航行一定距离到达$D$港，再沿南偏东$30°$方向航行一定距离到达$C$港.(参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.41$，$\sqrt{3} \approx 1.73$，$\sqrt{6} \approx 2.45$)

(1)求$A$、$C$两港之间的距离(结果保留小数点后一位).
(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同(停靠$B$、$D$两港的时间相同)，哪艘货轮先到达$C$港？请通过计算说明.

答案：
18.
(1)如图，过点$B$作$BE\perp AC$，垂足为$E$.
在$ Rt\triangle ABE$中，$\angle BAE = 90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$，$AB = 40$海里，
$\therefore AE = AB·\cos45^{\circ}=40×\frac{\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{2}$(海里)，
$BE = AB·\sin45^{\circ}=40×\frac{\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{2}$(海里).
在$ Rt\triangle BCE$中，$\angle CBE = 60^{\circ}$，$\therefore CE = BE·\tan60^{\circ}=20\sqrt{2}×\sqrt{3}=20\sqrt{6}$(海里)，$\therefore AC = AE + CE = 20\sqrt{2}+20\sqrt{6}\approx77.2$(海里)，
$\therefore A$、$C$两港之间的距离约为$77.2$海里.

(2)甲货轮先到达$C$港.理由如下：
由题意，得$\angle CDF = 30^{\circ}$，$DF// AG$，
$\therefore\angle GAD=\angle ADF = 60^{\circ}$，
$\therefore\angle ADC=\angle ADF+\angle CDF = 90^{\circ}$.
在$ Rt\triangle ACD$中，$\angle CAD = 90^{\circ}-\angle GAD = 30^{\circ}$，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AC=(10\sqrt{2}+10\sqrt{6})$海里，
$AD=\sqrt{3}CD=(10\sqrt{6}+30\sqrt{2})$海里.
在$ Rt\triangle BCE$中，$\angle CBE = 60^{\circ}$，$BE = 20\sqrt{2}$海里，
$\therefore BC=\frac{BE}{\cos60^{\circ}}=\frac{20\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}=40\sqrt{2}$(海里)，
$\therefore$甲货轮航行的路程=$AB + BC = 40 + 40\sqrt{2}\approx96.4$(海里)，乙货轮航行的路程=$AD + CD = 10\sqrt{6}+30\sqrt{2}+10\sqrt{2}+10\sqrt{6}=20\sqrt{6}+40\sqrt{2}\approx105.4$(海里).
$\because96.4$海里$＜105.4$海里，$\therefore$甲货轮先到达$C$港.