《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

8.(2024·大庆中考)如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形$ABC$；分别以点$A$、$B$、$C$为圆心，以$AB$的长为半径作$\overset{\frown}{BC}$、$\overset{\frown}{AC}$、$\overset{\frown}{AB}$，三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形.若该“莱洛三角形”的周长为$3\pi$，则它的面积是$\frac{9\pi}{2}-\frac{9\sqrt{3}}{2}$，

答案：
8.$\frac{9\pi}{2}-\frac{9\sqrt{3}}{2}$ [解析]由题知，莱洛三角形的周长可转化为半径长
为AB的圆周长的一半.
三个圆心角为$60^{\circ}$的扇形
又莱洛三角形的周长为$3\pi$，$\therefore3×\frac{60×\pi× AB}{180}=3\pi$，则$AB=3$，
$\therefore$等边三角形ABC的边长为3.
如图，过点A作BC的垂线，垂足为M，则$BM=\frac{1}{2}BC=\frac{3}{2}$．

在$ Rt\triangle ABM$中，$AM=\sqrt{3^{2}-(\frac{3}{2})^{2}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$．$\therefore$莱洛三角形的
面积为$3× S_{ 扇形ABC}-2S_{\triangle ABC}=3×\frac{60\pi×3^{2}}{360}-2×\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\pi}{2}-\frac{9\sqrt{3}}{2}$．

9.(2024·内江中考)一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为$9$，百位与个位上的数字之和也为$9$，则称该数为“极数”.若偶数$m$为“极数”，且$\frac{m}{33}$是完全平方数，则$m =$1188或4752.

答案： 9.1188或4752 [解析]设四位数m的个位数字为x，十位数
字为y(x是0到9的整数，y是0到8的整数)，
$\therefore m=1000(9-y)+100(9-x)+10y+x=99(100-10y-x)$．
$\because m$是四位数，$\therefore99(100-10y-x)$是四位数，
即$1000\leqslant99(100-10y-x)＜10000$．
$\because\frac{m}{33}=3(100-10y-x)$，
$\therefore30\frac{10}{33}\leqslant3(100-10y-x)＜303\frac{1}{33}$．
$\because\frac{m}{33}$是完全平方数，
$\therefore3(100-10y-x)$既是3的倍数也是完全平方数，
$\therefore3(100-10y-x)$只有36，81，144，225这四种可能，
$\therefore\frac{m}{33}$是完全平方数的所有m值为1188或2673或
4752或7425.又m是偶数，$\therefore m=1188$或4752.
思路引导本题考查列代数式解决问题，设出m的代数式
后根据题意得到代数式的取值范围是解题的关键，根据取
值范围确定可能的值即可解答问题.

10. 归纳法(2024·凉山州中考)阅读下面材料，并解决相关问题：
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有$1$个点，第二行有$2$个点，$·s$，第$n$行有$n$个点，容易发现，三角点阵中前$4$行的点数之和为$10$.
(1)探索：三角点阵中前$8$行的点数之和为36，前$15$行的点数之和为120，那么前$n$行的点数之和为$\frac{n(n+1)}{2}$.
(2)体验：三角点阵中前$n$行的点数之和不能(填“能”或“不能”)为$500$.
(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用$420$盆同样规格的花，按照第一排$2$盆，第二排$4$盆，第三排$6$盆，$·s$，第$n$排$2n$盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？

答案： 10.
(1)36 120 $\frac{n(n+1)}{2}$ [解析]由题知，
三角点阵中前1行的点数之和为1；
三角点阵中前2行的点数之和为$1+2$；
三角点阵中前3行的点数之和为$1+2+3$；
三角点阵中前4行的点数之和为$1+2+3+4$；
$·s$
所以三角点阵中前n行的点数之和为$1+2+3+·s+$
$n=\frac{n(n+1)}{2}$．
当$n=8$时，$\frac{n(n+1)}{2}=36$，
即三角点阵中前8行的点数之和为36.
当$n=15$时，$\frac{n(n+1)}{2}=120$，
即三角点阵中前15行的点数之和为120.
(2)不能 [解析]令$\frac{n(n+1)}{2}=500$，
解得$n=\frac{-1\pm\sqrt{4001}}{2}$．
因为n为正整数，
所以三角点阵中前n行的点数之和不能为500.
(3)由题知，前n排盆景的总数可表示为$n(n+1)$．
令$n(n+1)=420$，解得$n_1=-21$，$n_2=20$.
因为n为正整数，所以$n=20$，即一共能摆20排.

11.(2024·赤峰中考)在平面直角坐标系中，对于点$M(x_1, y_1)$，给出如下定义：当点$N(x_2, y_2)$满足$x_1 + x_2 = y_1 + y_2$时，称点$N$是点$M$的等和点.
(1)已知点$M(1, 3)$，在$N_1(4, 2)$，$N_2(3, -1)$，$N_3(0, -2)$中，是点$M$等和点的有$N_1(4,2)$和$N_3(0,-2)$；
(2)若点$M(3, -2)$的等和点$N$在直线$y = x + b$上，求$b$的值；
(3)已知双曲线$y_1 = \frac{k}{x}$和直线$y_2 = x - 2$，满足$y_1 ＜ y_2$的$x$的取值范围是$x ＞ 4$或$-2 ＜ x ＜ 0$.若点$P$在双曲线$y_1 = \frac{k}{x}$上，点$P$的等和点$Q$在直线$y_2 = x - 2$上，求点$P$的坐标.

答案：
11.
(1)$N_1(4,2)$和$N_3(0,-2)$ [解析]由$M(1,3)$，$N_1(4,2)$，得$x_1+x_2=y_1+y_2=5$，
$\therefore$点$N_1(4,2)$是点M的等和点；
由$M(1,3)$，$N_2(3,-1)$，得$x_1+x_2=4$，$y_1+y_2=2$，
$\because x_1+x_2\neq y_1+y_2$，$\therefore N_2(3,-1)$不是点M的等和点；
由$M(1,3)$，$N_3(0,-2)$，得$x_1+x_2=y_1+y_2=1$，
$\therefore N_3(0,-2)$是点M的等和点.
(2)设点N的横坐标为a，
$\because$点N是点$M(3,-2)$的等和点，
$\therefore$点N的纵坐标为$3+a-(-2)=a+5$，
$\therefore$点N的坐标为$(a,a+5)$.
$\because$点N在直线$y=x+b$上，$\therefore a+5=a+b$，$\therefore b=5$.
(3)由题意，得$k＞0$，双曲线分布在第一、三象限内，设直
线与双曲线的交点分别为点A、B，如图.

由$y_1＜y_2$时x的取值范围是$x＞4$或$-2＜x＜0$，可得
点A的横坐标为4，点B的横坐标为-2，
把$x=4$代入$y=x-2$，得$y=4-2=2$，$\therefore A(4,2)$．
把$A(4,2)$代入$y_1=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{4}$，$\therefore k=8$，
$\therefore$反比例函数的表达式为$y_1=\frac{8}{x}$．
设$P(m,\frac{8}{m})$，点Q的横坐标为n.
$\because$点Q是点P的等和点，
$\therefore$点Q的纵坐标为$m+n-\frac{8}{m}$，$\therefore Q(n,m+n-\frac{8}{m})$．
$\because$点Q在直线$y_2=x-2$上，
$\therefore m+n-\frac{8}{m}=n-2$，整理，得$m-\frac{8}{m}+2=0$，
去分母，得$m^{2}+2m-8=0$，
解得$m_1=-4$，$m_2=2$，
经检验，$m=-4$，$m=2$是原方程的解，
$\therefore$点P的坐标为$(-4,-2)$或$(2,4)$.