《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

27. (10分)在平面直角坐标系中,二次函数$y = ax^{2} -2ax -3a(a ＞ 0)$的图像与$x$轴分别相交于$A$、$B$两点($A$在$B$的左侧),与$y$轴相交于点$C$,$\angle CBA = 45^{\circ}$.
(1)请求出$a$的值.
(2)已知点$D$是函数图像上一动点(不与$A$、$B$重合),过点$D$的直线$l$平行于$y$轴,与$\triangle ABD$的外接圆交于另一点$E$,连接$AE$、$CE$.请问是否存在点$D$,使得$AE + CE$最小? 若存在,请求出点$D$坐标并求出$AE + CE$的最小值;若不存在,请说明理由.

答案：
27.[解析]本题考查了利用交点式求二次函数的表达式、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、两点间距离公式，中点公式，轴对称——最短路径问题，熟练掌握以上内容是解题关键.
解：
(1)
∵$y=ax^{2}-2ax-3a=a(x^{2}-2x-3)=a(x-3)(x+1)$.
令$y=0$，则$x=3$或-1，故$A(-1,0)$，$B(3,0)$.
∵与y轴相交于点C，$\angle CBA=45^{\circ}$，
∴$OB=OC=3$，故$C(0,-3)$.
把$C(0,-3)$代入$y=a(x-3)(x+1)$中，解得$a=1$.
(2)如图，设$D(m,n)$，$\triangle ABD$的外接圆圆心为$M(1,k)$，

∵由中点坐标公式得$E(m,2k-n)$.
∵$BM^{2}=DM^{2}$，
∴$(3-1)^{2}+k^{2}=(m-1)^{2}+(n-k)^{2}$.①
∵$y=x^{2}-2x-3=(x-1)^{2}-4$，
∴把$D(m,n)$代入可得$n=(m-1)^{2}-4$，即$(m-1)^{2}=n+4$.②
把②式代入①式，得$4+k^{2}=n+4+(n-k)^{2}$，
整理得$n^{2}-2kn+n=0$，
故$n(n-2k+1)=0$，由于$n\neq0$，
故$n-2k+1=0$，即$2k-n=1$，
故$E(m,1)$，即点E在直线$y=1$上运动.
作点A关于直线$y=1$的对称点$A'$，则$A'(-1,2)$，
连接$CA'$，则$AE+CE=A'E+CE\geqslant CA'$.
∵$CA'=\sqrt{1^{2}+5^{2}}=\sqrt{26}$，
∴$AE+CE$最小值为$\sqrt{26}$.
由$A'(-1,2)$、$C(0,-3)$，当$y=1$时，解得$x=-\frac{4}{5}$，此时$E(-\frac{4}{5},1)$，将$x=-\frac{4}{5}$代入$y=x^{2}-2x-3$得$y=-\frac{19}{25}$，
∴$D(-\frac{4}{5},-\frac{19}{25})$.

28. (10分)
[知识回顾]
如图,在平面直角坐标系中,正比例函数$y = kx$的图像记作直线$l$,$l$与$x$轴的夹角为$\alpha$.
(1)若$\alpha = 30^{\circ}$,则$k =$$\frac{\sqrt{3}}{3}$;
(2)当$k ＞ 0$时,求证:$\tan \alpha = k$.
[知识应用]
电影《蛟龙行动》中有这样一段情节:静止潜伏于水下的我方潜艇A利用被动声呐发现敌方潜艇B正沿某固定直线航向以每分钟$\dfrac{\sqrt{7}}{10}$海里的速度潜航进入我国海域.午夜2点整,潜艇A测得潜艇B在其北偏东$69^{\circ}$方向,2点05分,测得潜艇B在其北偏东$60^{\circ}$方向,经过解算,潜艇B将在2点10分航行至潜艇A的北偏东$56^{\circ}$方向.
请利用以上信息,以我方潜艇A为坐标原点,建立合适的坐标系,计算出敌方潜艇B的航线图像的函数表达式.(参考数据:$\tan 21^{\circ} \approx \dfrac{2\sqrt{3}}{9}$,$\tan 34^{\circ} \approx \dfrac{2\sqrt{3}}{5}$)

答案：
28.[解析]本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征、求一次函数表达式、一次函数k的几何意义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键.
(1)在l上任取一点A，设参数，求出点A坐标，进而求解即可；
(2)$k＞0$时，在直线l上取点$P(x,kx)$，过点P作$PH\perp x$轴于点H，则$OH=|x|$，$PH=k|x|$，在$Rt\triangle POH$中，求$\tan\alpha$即可得证；
(3)根据题意建立坐标系，利用
(2)中结论得到表达式，进而求解即可.
解：
(1)$\frac{\sqrt{3}}{3}$
提示：如图
(1)，在l上任取一点A，过点A作$AB\perp x$轴于点B.

设$AB=a$.
∵$\alpha=30^{\circ}$，
∴$OB=\sqrt{3}a$，
∴$A(\sqrt{3}a,a)$，
将点A代入$y=kx$得$a=\sqrt{3}ak$，解得$k=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
(2)如图
(2)，在$y=kx$上任取一点P，过点P作$PH\perp x$轴于点H.

设$P(x,kx)$.
∵$k＞0$，
∴$OH=|x|$，$PH=k|x|$，
∴在$Rt\triangle OPH$中，$\tan\alpha=\frac{PH}{OH}=\frac{k|x|}{|x|}=k$.
(3)如图
(3)，以A为坐标原点，以正东方向为x轴正方向，以正北方向为y轴正方向，建立坐标系.

由
(2)知$y_{1}=\frac{2\sqrt{3}}{9}x$，$y_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}x$，$y_{3}=\frac{2\sqrt{3}}{5}x$.
根据题意，可设$M(m,n)$，$N(n,\frac{2\sqrt{3}}{5}n)$，
∴$Q(\frac{m+n}{2},\frac{5\sqrt{3}m+9\sqrt{3}n}{45})$
把$x=\frac{m+n}{2}$，$y=\frac{5\sqrt{3}m+9\sqrt{3}n}{45}$，代入$y_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}x$，
得$\frac{5\sqrt{3}m+9\sqrt{3}n}{45}=\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{m+n}{2}$，解得$5m=3n$.
令$m=3k$，$n=5k$，
∵$MN^{2}=(\frac{\sqrt{7}}{10}×10)^{2}=7$，
∴$(m-n)^{2}+(\frac{10\sqrt{3}m-18\sqrt{3}n}{45})^{2}=7$，
把$m=3k$，$n=5k$代入，解得$k=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$M(\frac{3\sqrt{3}}{2},1)$，$N(\frac{5\sqrt{3}}{2},3)$，
∴航线图像(直线MN)的函数表达式为$y=\frac{2\sqrt{3}}{3}x-2$.