《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

9.方程$(x-1)^2=2$的解为$x_{1}=1-\sqrt{2}$，$x_{2}=1+\sqrt{2}$.

答案： 9.$x_{1}=1-\sqrt{2}$，$x_{2}=1+\sqrt{2}$ [解析]直接开方，得$x - 1 =\pm\sqrt{2}$，$\therefore x_{1}=1-\sqrt{2}$，$x_{2}=1+\sqrt{2}$.

10.(2025·扬州广陵区期中)用配方法解方程$x^2-8x+2=0$时,可将方程变为$(x-m)^2=n$的形式,则$m$的值为4.

答案： 10.4 [解析]移项，得$x^{2}-8x = - 2$，
方程的两边都加16，得$x^{2}-8x + 16 = 14$，
$\therefore(x - 4)^{2}=14$.$\therefore m = 4$.

11.已知关于$x$的方程$x^2+mx-6=0$的一个根为2,则$m=$1,另一个根是-3.

答案： 11.1 -3 [解析]依题意，得$2^{2}+2m - 6 = 0$，解得$m = 1$.设方程的另一根为$t$，则$2t = - 6$，解得$t = - 3$.

12. 中考新考法 满足结论的条件开放 (2024·南通中考)已知关于$x$的一元二次方程$x^2-2x+k=0$有两个不相等的实数根.请写出一个满足题意的$k$的值:$k=$-1.

答案： 12.$k = - 1$(答案不唯一) [解析]
∵关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x + k = 0$有两个不相等的实数根，
$\therefore\Delta = (-2)^{2}-4k = 4 - 4k ＞ 0$，解得$k ＜ 1$，
$\therefore k$的值可以为一1.

13.已知关于$x$的方程$x^2-mx+n=0$的两个根是0和-3,则$m=$-3,$n=$0.

答案： 13.-3 0 [解析]根据题意，得$0+(-3)=m$，$0×(-3)=n$，即$m = - 3$，$n = 0$.

14.(2025·镇江十中期中)一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程$x^2-7x+12=0$的一个根,则此三角形的周长是14.

答案： 14.14 [解析]解方程$x^{2}-7x + 12 = 0$，得$x = 3$或4，
当腰为3时，三角形的三边为3、3、6，$3 + 3 = 6$，此时不符合三角形三边关系定理，故舍去；
当腰为4时，三角形的三边为4、4、6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为$4 + 4 + 6 = 14$.

15.(2025·扬州江都区期末)已知$a$、$b$是一元二次方程$x^2+4x-1=0$的两个实数根,则$a^2+ab+4a$的值为0.

答案： 15.0 [解析]
∵$a$是一元二次方程$x^{2}+4x - 1 = 0$的根，
$\therefore a^{2}+4a - 1 = 0$，即$a^{2}=-4a + 1$，
$\therefore a^{2}+ab + 4a=-4a + 1+ab + 4a = 1 + ab$.
∵$a$、$b$是一元二次方程$x^{2}+4x - 1 = 0$的两个实数根，
$\therefore ab = - 1$，$\therefore a^{2}+ab + 4a = 1 + (-1)=0$.

16. 换元思想 已知关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个根为$x_1=2$,$x_2=3$,则方程$a(x+1)^2+b(x+1)+c=0$的两根为$x = 1$或$x = 2$.

答案： 16.$x = 1$或$x = 2$ [解析]设$x + 1 = t$，则方程$a(x + 1)^{2}+b(x + 1)+1 = 0$化为$at^{2}+bt + c = 0$，由题意，得$t_{1}=2$，$t_{2}=3$，$\therefore x + 1 = 2$或$x + 1 = 3$，$\therefore x = 1$或$x = 2$，$\therefore$方程$a(x + 1)^{2}+b(x + 1)+c = 0$的两根为$x = 1$或$x = 2$.
名师点评 本题考查了换元法解一元二次方程：我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，可以达到降次的目的.

17. 中考新考法 新定义问题 (2025·宿迁宿豫区期中)定义新运算“⊕”如下:当$a≥b$时,$a⊕b=a^2-b^2$;当$a＜b$时,$a⊕b=a^2-b$.若$(x-1)⊕(2x+1)=0$,则$x=$-2或0或4.

答案： 17.-2或0或4 [解析]当$x - 1\geqslant2x + 1$，
即$x\leqslant - 2$时，$(x - 1)^{2}-(2x + 1)^{2}=0$，
$(x - 1 + 2x + 1)(x - 1 - 2x - 1)=0$，
$3x(-x - 2)=0$，$\therefore x_{1}=0$，$x_{2}=-2$；
∵$x\leqslant - 2$，$\therefore x = 0$舍去，只取$x = - 2$；
当$x - 1 ＜ 2x + 1$，即$x ＞ - 2$时，
$(x - 1)^{2}-(2x + 1)^{2}=0$，$x^{2}-2x + 1 - 2x - 1 = 0$，
$x^{2}-4x = 0$，$x(x - 4)=0$，$\therefore x_{1}=0$，$x_{2}=4$.
综上，$x$的值为一2或0或4.
易错警示 分类讨论$x$的范围，利用题中的新定义，列出方程，解方程即可.

18. 传统文化 《算法统宗》 程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作.在《算法统宗》中记载:“平地秋千未起,踏板离地一尺.送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇,算出索长有几?”(注释:1步=5尺)
译文:“当秋千静止时,秋千上的踏板离地有1尺高,如将秋千的踏板往前推动两步(10尺)时,踏板就和人一样高,已知这个人身高是5尺.美丽的姑娘和才子们,每天都来争荡秋千,欢声笑语终日不断.好奇的能工巧匠,能算出这秋千的绳索长是多少吗?”
如图,假设秋千的绳索长始终保持直线状态,$OA$是秋千的静止状态,$A$是踏板,$CD$是地面,点$B$是推动两步后踏板的位置,弧$AB$是踏板移动的轨迹.已知$AC=1$尺,$CD=EB=10$尺,人的身高$BD=5$尺.设绳索长$OA=OB=x$尺,则可列方程为$10^{2}+(x + 1 - 5)^{2}=x^{2}$.

答案： 18.$10^{2}+(x + 1 - 5)^{2}=x^{2}$ [解析]设绳索长$OA = OB =x$尺，由题意，得$10^{2}+(x + 1 - 5)^{2}=x^{2}$.

19.(6分)解下列方程:
(1)(2025·宿迁宿豫区期中)$4x^2-12x-7=0$;
(2)(2025·无锡惠山区期中)$2x^2-4x-4048=0$;
(3)(2025·镇江丹徒区期中)$x^2-5x-4=0$;
(4)(2025·无锡宜兴期末)$2x^2-2x=3$;
(5)(2024·安徽中考)$x^2-2x=3$;
(6)(2024·滨州中考)$x^2-4x=0$.

答案： 19.
(1)$4x^{2}-12x - 7 = 0$，$4x^{2}-12x = 7$，$x^{2}-3x=\frac{7}{4}$，
$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{7}{4}+\frac{9}{4}$，即$(x-\frac{3}{2})^{2}=4$，
$\therefore x-\frac{3}{2}=\pm2$，$\therefore x_{1}=\frac{7}{2}$，$x_{2}=-\frac{1}{2}$.
(2)$2x^{2}-4x - 4048 = 0$，$x^{2}-2x = 2024$，
$x^{2}-2x + 1 = 2025$，$(x - 1)^{2}=2025$，
$x - 1=\pm45$，$\therefore x_{1}=46$，$x_{2}=-44$.
(3)$x^{2}-5x - 4 = 0$，$a = 1$，$b = - 5$，$c = - 4$，
$b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×1×(-4)=41 ＞ 0$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{5\pm\sqrt{41}}{2}$
$\therefore x_{1}=\frac{5+\sqrt{41}}{2}$，$x_{2}=\frac{5-\sqrt{41}}{2}$.
(4)$2x^{2}-2x - 3 = 0$，
$\because b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×2×(-3)=28$，
$\therefore x=\frac{2\pm2\sqrt{7}}{2×2}=\frac{1\pm\sqrt{7}}{2}$，$\therefore x_{1}=\frac{1+\sqrt{7}}{2}$，$x_{2}=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$.
(5)$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$.
(6)$x_{1}=0$，$x_{2}=4$.