《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

2. (8 分)(2023·重庆中考)为了满足市民的需求,我市在一条小河$AB$两侧开辟了两条长跑锻炼线路,如图:①$A—D—C—B$;②$A—E—B$.经勘测,点$B$在点$A$的正东方,点$C$在点$B$的正北方 10 千米处,点$D$在点$C$的正西方 14 千米处,点$D$在点$A$的北偏东$45^{\circ}$方向,点$E$在点$A$的正南方,点$E$在点$B$的南偏西$60^{\circ}$方向.(参考数据:$\sqrt{2}\approx1.41$,$\sqrt{3}\approx1.73$)

(1)求$AD$的长度.(结果精确到 1 千米)
(2)由于时间原因,小明决定选择一条较短线路进行锻炼,请计算说明他应该选择线路①还是线路②?

答案：
22.
(1)如图，过点D作$DF\perp AE$，垂足为F，由题意，得四边形ABCF是矩形，$\therefore AF=BC=10$千米.
在$Rt\triangle ADF$中，$\angle DAF=45°$，
$\therefore AD=\frac{AF}{\cos45°}=\frac{10}{\frac{\sqrt2}2}\approx10×1.41\approx14$(千米)，
$\therefore$AD的长度约为14千米.

(2)小明应该选择线路①，
理由：在$Rt\triangle ADF$中，$\angle DAF=45°$，$AF=10$千米，
$\therefore DF=AF=10$千米.
在$Rt\triangle ABE$中，$\angle ABE=90°-60°=30°$，$AB=DF+CD=24$千米，$\therefore AE=AB· \tan30°=24×\frac{\sqrt3}3=8\sqrt3$(千米).
$EB=2AE=16\sqrt3$(千米).
按线路①A—D—C—B走的路程为$AD+DC+CB=10\sqrt2+14+10\approx38$(千米)，
按线路②A—E—B走的路程为$AE+EB=8\sqrt3+16\sqrt3\approx41.52$(千米).
$\because38$千米$＜41.52$千米，$\therefore$小明应该选择线路①.

3. (8 分)某仓储中心有一个坡度为$i = 1:2$的斜坡$AB$,顶部$A$处的高$AC$为 4 米,点$B$、$C$在同一水平地面上,其横截面如图所示.
(1)求该斜坡的坡面$AB$的长度;
(2)现有一个侧面图为矩形$DEFG$的长方体货柜,其中长$DE = 2.5$米,高$EF = 2$米,该货柜沿斜坡向上运送时,当$BF = 3.5$米时,点$D$离$BC$所在水平面的高度$DH$.

答案： 23.
(1)$\because$坡度为$i=1:2$，$AC=4$米，
$\therefore BC=4×2=8$(米)，
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt5$(米).
(2)$\because \angle DGM=\angle BHM=90°$，$\angle DMG=\angle BMH$，
$\therefore \angle GDM=\angle B$，$\therefore \frac{GM}{GD}=\frac12$，$\because DG=EF=2$米，
$\therefore GM=1$米，$\therefore DM=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5$(米)，$BM=BF+FM=3.5+(2.5-1)=5$(米).设$MH=x$米，则$BH=2x$米，$\therefore x^2+(2x)^2=5^2$，解得$x=\sqrt5$.
$\therefore DH=\sqrt5+\sqrt5=2\sqrt5$(米).

4. (8 分)如图是一种简易台灯的结构图,灯座为$\triangle ABC$($BC$伸出部分不计),$A$、$C$、$D$在同一直线上.量得$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle A = 60^{\circ}$,$AB = 16\ cm$,$\angle ADE = 135^{\circ}$,灯杆$CD$长为$40\ cm$,灯管$DE$长为$15\ cm$.
(1)求$DE$与水平桌面($AB$所在直线)所成的角;
(2)当点$E$到水平桌面($AB$所在直线)的距离为$45\sim46\ cm$时,视线最佳,通过计算说明此时光线是否为最佳.(参考数据:$\sin15^{\circ}\approx0.26$,$\cos15^{\circ}\approx0.97$,$\tan15^{\circ}\approx0.27$,$\sqrt{3}\approx1.732$)

答案：
24.
(1)如图，过点D作$DN\perp AB$于点N，过点E作$EM\perp AB$于点M，过点D作$DF// AB$，交EM于点F，则四边形DNMF是矩形，$\therefore \angle NDF=90°$.
$\because DF// AB$，$\angle A=60°$，
$\therefore \angle ADF=180°-\angle A=120°$，
$\therefore \angle EDF=\angle ADE-\angle ADF=135°-120°=15°$.
故DE与水平桌面(AB所在直线)所成的角为$15°$.

(2)$\because \angle ACB=90°$，$\angle A=60°$，$AB=16$cm，$\therefore \angle ABC=30°$，
$\therefore AC=\frac12AB=8$cm.
$\because$灯杆CD的长为40cm，$\therefore AD=48$cm，
$\therefore DN=AD· \sin60°\approx41.57$(cm)，$\therefore FM=41.57$cm.
$\because$灯管DE的长为15cm，
$\therefore EF=DE· \sin15°\approx3.9$(cm)，
$\therefore$点E到水平桌面(AB所在直线)的距离为$3.9+41.57=45.47$(cm).
$\because45$cm$＜45.47$cm$＜46$cm，$\therefore$此时光线是最佳.