《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

22. (8分)为了增强学生保护环境的意识,在6月5日“世界环境日”当天,某校在七、八年级举行了环保知识竞赛,现从七、八年级所有参赛学生中各随机抽取了10名学生的成绩(百分制)进行整理和分析,部分信息如下所示:[说明:七、八年级全体参赛学生的竞赛成绩分成了$A$、$B$、$C$、$D$四个分数段,各分数段成绩取值范围为(成绩用$x$表示,单位:分)$A:60\leqslant x＜70$,$B:70\leqslant x＜80$,$C:80\leqslant x＜90$,$D:90\leqslant x\leqslant100$].
[收集数据]七年级10名同学竞赛成绩如下:75、84、78、72、91、79、86、69、72、94.
八年级10名同学竞赛成绩中落在$C$分数段的成绩如下:80、82、82、84、85.
[整理数据]七、八年级各10名学生竞赛成绩在四个分数段的分布如下表所示:

[分析数据]七、八年级各10名学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表:

[问题解决]根据以上信息,解答下列问题:
(1)填空:$a =$,$b =$.
(2)若该校七年级共有300名学生参加了知识竞赛,请估计七年级所有参赛学生中成绩达优良(满足$x\geqslant80$即为优良)的人数.
(3)根据以上数据分析,你认为哪个年级所抽取的10名学生竞赛成绩更好?请说明理由.

答案： 22.[解析]本题考查中位数、算术平均数、众数及方差，解题的关键是掌握众数、中位数的定义及方差的意义.
(1)根据众数和中位数的定义求解即可；
(2)总人数乘样本中七年级成绩优良人数所占比例即可；
(3)根据中位数、平均数及方差的意义求解即可.
解：
(1)$72$ $81$ 提示：七年级成绩的众数$a = 72$，八年级成绩的中位数$b=\frac{80 + 82}{2}=81$.
(2)$300×\frac{2 + 2}{10}=120$（名），故估计七年级所有参赛学生中成绩达优良（满足$x\geq80$即为优良）的人数约有$120$.
(3)八年级成绩更好，因为七、八年级成绩的平均数相等，而八年级成绩的中位数大于七年级，方差小于七年级，所以八年级高分人数多于七年级，稳定性更好.
知识拓展 统计的特征量：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.它是反映数据集中趋势的一项指标.方差是各数据与差的平方的平均数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据波动越小，数据越稳定.

23. (8分) 中考新考法 尺规作图 如图,$AB$是半圆的直径,点$O$为圆心,$C$是半圆上一点,连接$AC$.
(1)用无刻度的直尺和圆规作图:在半圆上确定一点$P$,使得$\overset{\frown}{PB}=\overset{\frown}{PC}$（保留作图痕迹）;
(2)在(1)的条件下,连接$PB$、$PC$,若$AB = 10$,$AC = 6$,求四边形$ABPC$的面积.

答案：
23.[解析]本题考查作图——复杂作图、圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理、点与圆的位置关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.
(1)分别以点$B$、$C$为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$长为半径画弧，交于点$D$，连接$OD$交圆于点$P$，则点$P$即为所求；
(2)利用勾股定理求出$BC$，再求出$PH$，利用三角形面积公式求解即可.
解：
(1)如图，点$P$即为所求；

$\rightarrow$利用垂径定理
(2)$\because AB$是直径，$\therefore\angle ACB = 90^{\circ}$，
$\therefore BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$.
$\because OP\perp BC$，$\therefore CH = BH$.$\because OA = OB$，
$\therefore OH=\frac{1}{2}AC = 3$.$\because OP = 5$，$\therefore PH = OP - OH = 5 - 3 = 2$，$\therefore$四边形$ABPC$的面积$=\frac{1}{2}AC· BC+\frac{1}{2}BC· PH=\frac{1}{2}×6×8+\frac{1}{2}×8×2 = 32$.
一题多解
(1)如图，作$\angle BAC$的平分线交$\odot O$于点$P$，点$P$即为所求.