《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

23. (8 分)如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\odot O$是$\triangle ABC$的外接圆，$BD$是$\odot O$的直径，$AD$与$BC$交于点$E$，在$CA$的延长线上取点$F$，使$BA$平分$\angle FBC$.

(1) 求证：$BF$是$\odot O$的切线；
(2) 若$AE = 4$，$ED = 5$，求$AB$的长.

答案： 23.[解析]本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键.
(1)由圆周角定理，可得$\angle ABD+\angle D=90^{\circ}$，进而可得$\angle ABD+\angle ABF=90^{\circ}$，即得$\angle DBF=90^{\circ}$，即可求证；
(2)由已知得$AD=9$，再由$\triangle ABE \backsim \triangle ADB$得$\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}$，代入计算即可求解.
解：
(1)$\because BD$是$\odot O$的直径，$\therefore \angle BAD=90^{\circ}$，
$\therefore \angle ABD+\angle D=90^{\circ}$.
$\because \angle C=\angle D$，$\therefore \angle ABD+\angle C=90^{\circ}$.
$\because BA$平分$\angle FBC$，$\therefore \angle ABF=\angle ABC$.
$\because AB=AC$，$\therefore \angle ABC=\angle C$，$\therefore \angle ABF=\angle C$，
$\therefore \angle ABD+\angle ABF=90^{\circ}$，$\therefore \angle DBF=90^{\circ}$，
即$DB\perp BF$，$\therefore BF$是$\odot O$的切线.
(2)$\because AE=4$，$ED=5$，$\therefore AD=4+5=9$.
由
(1)知，$\angle C=\angle D$，$\angle ABC=\angle C$，
$\therefore \angle ABC=\angle D$，即$\angle ABE=\angle D$.
$\because \angle BAE=\angle DAB$，$\therefore \triangle ABE \backsim \triangle ADB$，$\therefore \frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}$，
即$\frac{AB}{9}=\frac{4}{AB}$，解得$AB=6$.