《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

27.(10分)如图所示是上海世博园内的一个矩形花园,花园的长为100米,宽为50米,在它的四角各建一个同样大小的正方形观光休息亭,四周建有与观光休息亭等宽的观光大道,其余部分(图内阴影部分)种植不同的花草.已知种植花草部分的面积为3600平方米,则花园各角处的每个正方形观光休息亭的周长为多少米?

答案： 27.设花园各角处的正方形观光休息亭的边长为$x$米.
由题意，得$(100 - 2x)(50 - 2x)=3600$，
整理，得$x^{2}-75x + 350 = 0$，
解得$x_{1}=5$，$x_{2}=70$(不合题意，舍去)，则$5×4 = 20$(米).
故花园各角处的正方形观光休息亭的周长为20米.

28.(12分) 中考新考法 新定义问题 (2025·无锡新吴区期末)定义:已知$x_1$、$x_2$是关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根,若$x_1＜x_2＜0$,且$3＜\frac{x_1}{x_2}＜4$,则称这个方程为“限根方程”.比如:一元二次方程$x^2+13x+30=0$的两根为$x_1=-10$,$x_2=-3$,因为$-10＜-3＜0$,$3＜\frac{-10}{-3}＜4$,所以一元二次方程$x^2+13x+30=0$为“限根方程”.
请阅读以上材料,回答下列问题:
(1)判断:一元二次方程$x^2+14x+33=0$是“限根方程”(填“是”或“不是”);
(2)若关于$x$的一元二次方程$x^2+(k+9)x+k^2+8=0$是“限根方程”,且方程的两根$x_1$、$x_2$满足$11x_1+11x_2+x_1x_2=-121$,求$k$的值;
(3)若关于$x$的一元二次方程$x^2+(1-m)x-m=0$是“限根方程”,求$m$的取值范围.

答案： 28.
(1)是 [解析]$x^{2}+14x + 33 = 0$，
$(x + 11)(x + 3)=0$，解得$x_{1}=-11$，$x_{2}=-3$.
∵$-11 ＜ -3 ＜ 0$，$3 ＜ -\frac{11}{-3} ＜ 4$，
∴一元二次方程$x^{2}+14x + 33 = 0$是“限根方程”.
(2)根据题意，得$x_{1}+x_{2}=-(k + 9) ＜ 0$，
$x_{1}x_{2}=k^{2}+8 ＞ 0$.
∵$11x_{1}+11x_{2}+x_{1}x_{2}=-121$，
$\therefore11(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2}=-121$，
$\therefore-11(k + 9)+k^{2}+8=-121$，
整理，得$k^{2}-11k + 30 = 0$，解得$k_{1}=5$，$k_{2}=6$.
当$k = 5$时，原方程化为$x^{2}+14x + 33 = 0$，此方程为“限根方程”；当$k = 6$时，原方程化为$x^{2}+15x + 44 = 0$，解得$x_{1}=-11$，$x_{2}=-4$.
∵$-11 ＜ -4 ＜ 0$，$\frac{11}{4} ＜ 3$，
∴一元二次方程$x^{2}+15x + 44 = 0$不是“限根方程”.
综上所述，$k$的值为5.
(3)解方程$x^{2}+(1 - m)x - m = 0$，
得$x_{1}=m$，$x_{2}=-1$.
此处不知道$m$和一1的大小关系，需分类讨论
∵关于$x$的一元二次方程$x^{2}+(1 - m)x - m = 0$是“限根方程”，
∴当$m ＜ -1$时，$3 ＜ \frac{m}{-1} ＜ 4$，解得$-4 ＜ m ＜ -3$；
当$-1 ＜ m ＜ 0$时，$3 ＜ \frac{-1}{m} ＜ 4$，解得$-\frac{1}{3} ＜ m ＜ -\frac{1}{4}$.
综上，$m$的取值范围为$-4 ＜ m ＜ -3$或$-\frac{1}{3} ＜ m ＜ -\frac{1}{4}$.