《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

1.(2025·广东广州花都区黄广中学期中)我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步.问宽和长各是几步.设宽为$x$步，根据题意列方程正确的是(D).

A.$2x+2(x+12)=864$
B.$x^{2}+(x+12)^{2}=864$
C.$x(x-12)=864$
D.$x(x+12)=864$

答案： 1.D [解析]设宽为x步，则长为(x+12)步.根据题意列方程x(x+12)=864.故选D.

2.(2024·深圳中考)二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季(立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨)，夏季(立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑)，秋季(立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降)，冬季(立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒)，若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为(D).

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{12}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{4}$

答案： 2.D [解析]从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为$\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$.故选D.

3.拱桥模型(2024·南京科利华中学三模)赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为$37 m$，拱高约为$7 m$，则赵州桥主桥拱半径$R$约为(B).


A.$20 m$
B.$28 m$
C.$35 m$
D.$40 m$

答案：
3.B [解析]如图，$AB = 37m$，$CD = 7m$，设主桥拱半径为$R$，$\therefore OD = OC - CD = (R - 7)m$.
$\because OC$是半径，$OC\perp AB$，$\therefore AD = BD = \frac{1}{2}AB = \frac{37}{2}(m)$.
在$Rt\triangle ADO$中，$AD^{2} + OD^{2} = OA^{2}$，
$\therefore (\frac{37}{2})^{2} + (R - 7)^{2} = R^{2}$，解得$R = \frac{1565}{56} \approx 28(m)$.
故选B.

4.(2023·宜宾中考)《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，$\overset{\frown} {AB}$是以点$O$为圆心、$OA$为半径的圆弧，$N$是$AB$的中点，$MN\perp AB$.“会圆术”给出$\overset{\frown} {AB}$的弧长$l$的近似值计算公式：$l=AB+\frac{MN^{2}}{OA}$.当$OA=4$，$\angle AOB=60^{\circ }$时，则$l$的值为(B).

A.$11 - 2\sqrt{3}$
B.$11 - 4\sqrt{3}$
C.$8 - 2\sqrt{3}$
D.$8 - 4\sqrt{3}$

答案：
4.B [解析]连接$ON$，如图.

$\because \overgroup{AB}$是以$O$为圆心，$OA$为半径的圆弧，$N$是$AB$的中点，$MN\perp AB$，$\therefore ON\perp AB$，$\therefore M$、$N$、$O$共线.
$\because OA = 4$，$\angle AOB = 60^{\circ}$，$\therefore \triangle AOB$是等边三角形，
$\therefore OA = AB = 4$，$\angle OAN = 60^{\circ}$，
$\therefore ON = OA· \sin60^{\circ} = 2\sqrt{3}$，
$\therefore MN = OM - ON = 4 - 2\sqrt{3}$，
$\therefore l = AB + \frac{MN^{2}}{OA} = 4 + \frac{(4 - 2\sqrt{3})^{2}}{4} = 11 - 4\sqrt{3}$.故选B.
思路引导 解题的关键是读懂题意，作出辅助线求$ON$的长度后代入弧长$l$的近似值计算公式.

5.(2025·吕梁方山一模)晋剧是我省国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱，正面印有晋剧经典剧目Q版人物的三张卡片(其中有1名男性角色，2名女性角色)，它们除正面外完全相同.把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的概率为(D).

A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{5}{9}$
D.$\frac{4}{9}$

答案：
5.D [解析]1名男性角色记为$A$，2名女性角色分别记为$B$、$C$，画树状图如下：

由图可知，共有9种等可能的结果，其中$B$、$B$；$B$、$C$；$C$、$B$；$C$、$C$四种结果为女性，$\therefore$两次抽取的卡片正面人物性别都为女性的概率为$\frac{4}{9}$.故选D.

6.(2025·郑州金水区一模)八卦图是中国古老的科学文化遗产，是我国古代劳动人民智慧的结晶.如图(1)所示的八卦图中每一卦由“—”和“--”组成.小明制作了如图(2)所示的4张方形卡片和4张圆形卡片(方形卡片、圆形卡片的背面均相同)，4张方形卡片上分别画有乾、坤、震、巽四卦，4张圆形卡片上分别画有坎、艮、离、兑四卦.小明将这些卡片背面朝上洗匀，并从方形卡片中随机抽取一张，从圆形卡片中随机抽取一张，则抽到的两张卡片上的卦中都只有1根“—”的概率是(A).


A.$\frac{1}{8}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{8}$
D.$\frac{5}{8}$

答案：
6.A [解析]解法一：根据题意方形卡片中震符合题意，圆形卡片中坎、艮符合题意，列表如下：
总共有16种等可能的情况，每种情况出现的可能性相同，符合情况的有2种，则抽到的两张卡片上的卦中都只有1根“—”的概率为$\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$.故选A.
一题多解 根据图意方形卡片中震符合题意，圆形卡片中坎、艮符合题意，画树状图如图：

总共有16种等可能的情况，每种情况出现的可能性相同，符合情况的有2种，则抽到的两张卡片上的卦中都只有1根“—”的概率为$\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$.