《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

22.(8分)(2025·连云港海州区期末)已知关于$x$的一元二次方程$mx^2-(3m-1)x+2m-1=0$,其根的判别式的值为1,求$m$的值及方程的根.

答案： 22.由题意，得$m≠0$，且$\Delta=[-(3m - 1)]^{2}-4m(2m - 1)=1$，$\therefore m^{2}-2m = 0$，解得$m_{1}=0$(舍去)，$m_{2}=2$，
$\therefore$一元二次方程二次项系数不为0
$\therefore(x - 1)(2x - 3)=0$，$\therefore x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{3}{2}$.
故$m$的值为2，方程的根为$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{3}{2}$.

23.(8分)(2025·连云港海州区期末)关于$x$的一元二次方程$x^2+mx-1=0$.
(1)判断方程根的情况,并说明理由;
(2)若方程有一个根是2,求它的另一个根.

答案： 23.
(1)$b^{2}-4ac=m^{2}-4×1×(-1)=m^{2}+4$.
∵无论$m$取何值时，$m^{2}\geqslant0$，$\therefore m^{2}+4 ＞ 0$，
∴原方程有两个不相等的实数根.
(2)把$x = 2$代入原方程，得$2^{2}+2m - 1 = 0$，
$\therefore m=-\frac{3}{2}$，$\therefore$原方程为$x^{2}-\frac{3}{2}x - 1 = 0$，解得$x_{1}=2$，$x_{2}=-\frac{1}{2}$，它的另一个根为$-\frac{1}{2}$.

24.(8分)(2024·内江中考)已知关于$x$的一元二次方程$x^2-px+1=0(p$为常数$)$有两个不相等的实数根$x_1$和$x_2$.
(1)填空:$x_1+x_2=$$p$,$x_1x_2=$1;
(2)求$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$,$x_1+\frac{1}{x_1}$;
(3)已知$x_1^2+x_2^2=2p+1$,求$p$的值.

答案： 24.
(1)$p$ 1
(2)
∵$x_{1}+x_{2}=p$，$x_{1}x_{2}=1$，
$\therefore\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{2}+x_{1}}{x_{1}x_{2}}=\frac{p}{1}=p$.
∵关于$x$的一元二次方程$x^{2}-px + 1 = 0(p$为常数)有两个不相等的实数根$x_{1}$和$x_{2}$，
$\therefore x^{2}-px + 1 = 0$，$\therefore x_{1}+x_{2}-p+\frac{1}{x_{1}} = 0$，即$x_{1}+\frac{1}{x_{1}} = p$.
(3)
∵$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=2p + 1$，$\therefore(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=2p + 1$，
$\therefore p^{2}-2 = 2p + 1$，解得$p_{1}=3$，$p_{2}=-1$.
当$p = 3$时，$\Delta=p^{2}-4 = 9 - 4 = 5 ＞ 0$；
当$p = -1$时，$\Delta=p^{2}-4 = -3 ＜ 0.\therefore p = 3$.