《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

25. (8分)(2023·无锡中考)某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售,销售价格不低于22元/kg,不高于45元/kg.经市场调查发现每天的销售量$ y $(kg)与销售价格$ x $(元/kg)之间的函数关系如图所示.

(1)求$ y $关于$ x $的函数表达式.
(2)当销售价格定为多少时,该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大?最大销售利润是多少?[销售利润=(销售价格-采购价格)×销售量]

答案： 25.
(1)当22≤x≤30时，设函数表达式为y = kx + b，
将(22,48)、(30,40)代入表达式，
得$\begin{cases}22k + b = 48 \\30k + b = 40 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k = - 1 \\b = 70 \end{cases}$，
∴函数表达式为y = -x + 70；
当30＜x≤45时，设函数表达式为y = mx + n，
将(30,40)、(45,10)代入表达式，
得$\begin{cases}30m + n = 40 \\45m + n = 10 \end{cases}$，解得$\begin{cases}m = - 2 \\n = 100 \end{cases}$，
∴函数表达式为y = -2x + 100.
综上，y与x的函数表达式为y = $\begin{cases}-x + 70(22≤x≤30) \\-2x + 100(30＜x≤45) \end{cases}$.
(2)设利润为w元，当22≤x≤30时，
w = (x - 20)(-x + 70) = -x² + 90x - 1400 = -(x - 45)² + 625，
在22≤x≤30范围内，w随着x的增大而增大，
∴当x = 30时，w取得最大值为400；
当30＜x≤45时，w = (x - 20)(-2x + 100) = -2x² + 140x - 2000 = -2(x - 35)² + 450，
当x = 35时，w取得最大值为450；
∵450＞400，
∴当销售价格为35元/kg时，利润最大为450元.

26. (10分)中考新考法 课题探究 (2025·河南新乡期中)某班“数学兴趣小组”对函数$ y = x^2 - 2|x| $的图像和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整.
(1)自变量$ x $的取值范围是全体实数,$ x $与$ y $的几组对应值列表如下:
其中$ m = $0;
(2)根据表中数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图像的一部分,请画出该函数图像的另一部分;
(3)观察函数图像,写出两条函数的性质;
(4)进一步探究函数图像发现:
①函数图像与$ x $轴有3个交点,所以对应的方程$ x^2 - 2|x| = 0 $有3个不相等的实数根;
②方程$ x^2 - 2|x| = 2 $有2个不相等的实数根;
③关于$ x $的方程$ x^2 - 2|x| = a $有4个不相等的实数根时,$ a $的取值范围是-1＜a＜0.

答案：
26.
(1)0　[解析]把x = - 2代入y = x² - 2|x|，得y = 0，即m = 0.
(2)如图所示.

(3)由函数图像知，①函数y = x² - 2|x|的图像关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大.(答案不唯一)
(4)①3　3　[解析]由函数图像知，函数图像与x轴有3个交点，所以对应的方程x² - 2|x| = 0有3个不相等的实数根.
②2　[解析]由函数图像知，函数图像与直线y = 2有2个交点，
∴x² - 2|x| = 2有2个不相等的实数根.
③ - 1＜a＜0　[解析]由函数图像知，若关于x的方程x² - 2|x| = a有4个不相等的实数根，则a的取值范围是 - 1＜a＜0.