《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

22.(8分)(2025·南京建邺区期末)如图，$AB$为$\odot O$的直径，点$C$、$D$在$\odot O$上，且点$D$为$\overset{\frown}{BC}$的中点，过点$D$作$DE\perp AC$于点$E$，连接$BD$.
(1)求证：$DE$是$\odot O$的切线；
(2)若$AC = 3$，$BD = \sqrt{5}$，求$DE$的长.

答案：
22.
(1)如图，连接AD.
∵点D为BC的中点，
∴CD = BD，
∴∠CAD = ∠DAB.
∵OA = OD，
∴∠DAB = ∠ODA，
∴∠CAD = ∠ODA，
∴AE//OD.
∵DE⊥AE，
∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，
∴ED是⊙O 的切线.
(2)如图，连接BC交OD于点F.
∵CD = BD，
∴CD = BD，OD⊥BC，
∴CF = BF.
∵AO = OB，
∴$OF = \frac{1}{2}AC = \frac{3}{2}，$ 设⊙O的半径为r，
∴$DF = r - \frac{3}{2}，$
∵$OB^2 - OF^2 = BD^2 - DF^2，$
∴$r^2 - (\frac{3}{2})^2 = (\sqrt{5})^2 - (r - \frac{3}{2})^2，$ 解得$r = \frac{5}{2}($负值已舍去)，
∴$OB = \frac{5}{2}，$
∴$BF = \sqrt{OB^2 - OF^2} = 2. $
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA = ∠BCE = 90°，
∴∠FCE = ∠E = ∠CFD = 90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴DE = CF = BF = 2.

23.(8分)如图，四边形$ABCD$是正方形，点$A$、$B$在$\odot O$上，边$DA$的延长线交$\odot O$于点$E$，对角线$DB$的延长线交$\odot O$于点$F$，连接$EF$并延长至点$G$，使$\angle FBG = \angle FAB$.
(1)求证：$BG$与$\odot O$相切；
(2)若$\odot O$的半径为1，求$AF$的长.

答案：
23.
(1)如图，连接BE.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE = 90°，
∴∠BAF + ∠EAF = 90°，∠EAF = ∠EBF，∠FBG = ∠FAB，
∴∠FBG + ∠EBF = 90°，
∴∠OBG = 90°.又BE为直径，
∴BG与⊙O相切.
(2)如图，连接OA、OF.
∵四边形ABCD是正方形，BE是圆的直径，
∴∠EFD = 90°，∠FDE = 45°，
∴∠FED = 45°，
∵OA = OF = 1，
∴$AF^2 = AO^2 + FO^2 = 1 + 1 = 2，$
∴$AF = \sqrt{2}($负值已舍去).

24.(8分)(2024·自贡中考)在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\odot O$是$\triangle ABC$的内切圆，切点分别为$D$、$E$、$F$.
(1)图(1)中三组相等的线段分别是$CE = CF$，$AF =$AD，$BD =$BE；若$AC = 3$，$BC = 4$，则$\odot O$半径长为1；
(2)如图(2)，延长$AC$到点$M$，使$AM = AB$，过点$M$作$MN\perp AB$于点$N$.求证：$MN$是$\odot O$的切线.

答案：
24.
(1)AD BE 1 [解析]连接OE、OF，如图
(1). 由切线长定理可知，AF = AD，BD = BE，
∵∠C = 90°，⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠C = ∠OEC = ∠OFC = 90°，OE = OF，
∴四边形OECF是正方形. 设OE = OF = CE = CF = x，则BE = BC - CE = 4 - x = BD，AF = AC - CF = 3 - x = AD.
∵$BD + AD = AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5，$
∴4 - x + 3 - x = 5，解得x = 1，
∴OE = 1，即⊙O半径长为1.

(2)过点O作OH⊥MN于点H，连接OD、OE、OF，如图
(2).
∵∠ANM = 90° = ∠ACB，∠A = ∠A，AM = AB，
∴△AMN≅△ABC(AAS)，
∴AN = AC.
∵AD = AF，
∴AN - AD = AC - AF，即DN = CF. 同
(1)可知，CF = OE，
∴DN = OE.
∵∠ANM = 90° = ∠ODN = ∠OHN，
∴四边形OHND是矩形，
∴OH = DN，
∴OH = OE，即OH是⊙O的半径.
∵OH⊥MN，
∴MN是⊙O的切线.