《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

1.下列方程中,是关于$x$的一元二次方程的有(A).
①$a x ^ { 2 } + b x + c = 0$;②$x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } = 0$;③$(x-1)(x+2)=0$;④$x ^ { 2 } = ( x - 1 ) ^ { 2 }$;⑤$3 x ^ { 2 } - 2 x y - 5 y ^ { 2 } = 0$.

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： 1.A [解析]①$ax^{2}+bx+c=0$，当$a=0$时，不是关于$x$的一元二次方程；
②$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=0$，左边不是整式，故不是关于$x$的一元二次方程；
③$(x-1)(x+2)=0$，整理，得$x^{2}+x-2=0$，是关于$x$的一元二次方程；
④$x^{2}=(x-1)^{2}$，整理，得$-2x+1=0$，故不是关于$x$的一元二次方程；
⑤$3x^{2}-2xy-5y^{2}=0$，含有两个未知数，故不是关于$x$的一元二次方程；
∴只有1个关于$x$的一元二次方程.故选A.

2.(2024·广安中考)若关于$x$的一元二次方程$(m+1)x ^ { 2 } - 2 x + 1 = 0$有两个不相等的实数根,则$m$的取值范围是(A).

A.$m＜0$且$m\neq-1$
B.$m\geq0$
C.$m\leq0$且$m\neq-1$
D.$m＜0$

答案： 2.A [解析]
∵关于$x$的一元二次方程$(m+1)x^{2}-2x+1=0$有两个不相等的实数根，
∴$m+1\neq0$且$4-4(m+1)＞0$，
解得$m＜0$且$m\neq-1$.故选A.

3.(2024·绥化中考)小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是6和1;小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是-2和-5.则原来的方程是(B).

A.$x ^ { 2 } + 6 x + 5 = 0$
B.$x ^ { 2 } - 7 x + 10 = 0$
C.$x ^ { 2 } - 5 x + 2 = 0$
D.$x ^ { 2 } - 6 x - 10 = 0$

答案： 3.B [解析]设原来的方程为$ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)$，
由题意，得$-\frac{b}{a}=6+1=7$，$\frac{c}{a}=-2×(-5)=10$，
⇒写错常数项，则一次项系数是正确的，
写错一次项系数，则常数项是正确的
所以$b=-7a$，$c=10a$，
所以原来的方程为$ax^{2}-7ax+10a=0$，
又$a\neq0$，则$x^{2}-7x+10=0$.故选B.
归纳总结 本题考查了根与系数的关系，解题的关键是记住当$x_1$、$x_2$是一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)$的两根
时，有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$.

4.若$x=3$是关于$x$的一元二次方程$x ^ { 2 } - \frac { 5 } { 3 } a x - a ^ { 2 } = 0(a＞0)$的一个根,则下面对$a$的值估计正确的是
(B).

A.$\frac { 1 } { 2 } ＜ a ＜ 1$
B.$1 ＜ a ＜ \frac { 3 } { 2 }$
C.$\frac { 3 } { 2 } ＜ a ＜ 2$
D.$2 ＜ a ＜ \frac { 5 } { 2 }$

答案： 4.B [解析]将$x=3$代入方程，得$9-5a-a^{2}=0$，解得$a=\frac{-5\pm\sqrt{61}}{2}$.因为$a＞0$，所以$a=\frac{\sqrt{61}-5}{2}$.
又$7＜\sqrt{61}＜8$，所以$2＜\sqrt{61}-5＜3$，$1＜\frac{\sqrt{61}-5}{2}＜\frac{3}{2}$，即
$1＜a＜\frac{3}{2}$.故选B.

5.(2025·扬州江都区期末)若$x = \frac { 2 \pm \sqrt { 4 - 4 × 3 × ( - 1 ) } } { 2 × 3 }$是某个一元二次方程的根,则这个一元二次方程可以是
(D).

A.$3 x ^ { 2 } + 2 x - 1 = 0$
B.$2 x ^ { 2 } + 4 x - 1 = 0$
C.$- x ^ { 2 } - 2 x + 3 = 0$
D.$3 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$

答案： 5.D [解析]$x=\frac{2\pm\sqrt{4-4×3×(-1)}}{2×3}$是某个一元二次方
程的根，
∴此一元二次方程的二次项系数$a=3$，一次项
数$b=-2$，常数项$c=-1$，
∴这个一元二次方程可以是
$3x^{2}-2x-1=0$.故选D.

6. 中考新考法 新定义问题 对于实数$a$、$b$定义运算“$\otimes$”为$a \otimes b = b ^ { 2 } - a b$,例如$3 \otimes 2 = 2 ^ { 2 } - 3 × 2 = - 2$,则关
于$x$的方程$(k - 3) \otimes x = k - 1$的根的情况,下列说法正确的是(A).

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定

答案： 6.A [解析]
∵$(k-3)x=k-1$，
∴$x^{2}-(k-3)x=k-1$，
∴$x^{2}-(k-3)x-k+1=0$，
∴$\Delta=[-(k-3)]^{2}-4×1×(-k+1)=(k-1)^{2}+4＞0$，
∴关于$x$的
方程$(k-3)x=k-1$有两个不相等的实数根.故选A.

7.(2023·朝阳中考)若关于$x$的一元二次方程$(k - 1) x ^ { 2 } + 2 x - 2 = 0$有两个不相等的实数根,则$k$的取值
范围是(A).

A.$k ＞ \frac { 1 } { 2 }$且$k \neq 1$
B.$k ＞ \frac { 1 } { 2 }$
C.$k \geq \frac { 1 } { 2 }$且$k \neq 1$
D.$k \geq \frac { 1 } { 2 }$

答案： 7.A [解析]
∵关于$x$的一元二次方程$(k-1)x^{2}+2x-2=0$有
两个不相等的实数根，
∴$\begin{cases}k-1\neq0,\\\Delta=2^{2}-4(k-1)×(-2)＞0,\end{cases}$解得$k＞\frac{1}{2}$且$k\neq1$，
∴$k$
的取值范围是$k＞\frac{1}{2}$且$k\neq1$.故选A.
易错警示 切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零
这一隐含条件.

8.把一个小球以$15m/s$的速度竖直向上弹出,它在空中的高度$h(m)$与时间$t(s)$满足关系:$h = 15 t - 5 t ^ { 2 }$.当$h = 10$时,小球的运动时间为(C).

A.$1s$
B.$2s$
C.$1s$或$2s$
D.无法确定

答案： 8.C [解析]根据题意，把$h=10$代入关系式，得$15t-5t^{2}=10$，即$t^{2}-3t+2=0$，解得$t=1$或$2$，
∴小球的运动时间为1s或2s.故选C.

9. 教材P7练习T2·变式 方程$(x - 1)(2x + 1) = 2$化成一般形式是$2x^{2}-x-3=0$,它的二次项系数是
2.

答案： 9.$2x^{2}-x-3=0$ 2 [解析]$(x-1)(2x+1)=2$可化为
$2x^{2}-2x+x-1=2$，
移项、合并同类项，得$2x^{2}-x-3=0$.
故二次项系数是2.