《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

14.（10分）已知$\odot O$经过四边形$ABCD$的$B$、$D$两点，并与四条边分别交于点$E$、$F$、$G$、$H$，且$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{GH}$.
（1）如图（1），连接$BD$，若$BD$是$\odot O$的直径，求证：$\angle A=\angle C$；
（2）如图（2），若$\overset{\frown}{EF}$的度数为$\theta$，$\angle A=\alpha$，$\angle C=\beta$，请直接写出$\theta$、$\alpha$和$\beta$之间的数量关系.!!

答案：
14.
(1)如图
(1)，连接$DF$、$DG$.
$\because BD$是$\odot O$的直径，$\therefore \angle DFB=\angle DGB=90^{\circ}$.
$\because EF=GH$，$\therefore \angle EDF=\angle HDG$.
$\because \angle DFB=\angle EDF+\angle A$，$\angle DGB=\angle HDG+\angle C$，
$\therefore \angle A=\angle C$.

(2)$\alpha+\beta+\theta=180^{\circ}$.理由如下：
如图
(2)，连接$DF$、$BH$.
$\because EF=GH$，$\therefore \angle ADF=\angle HBG=\frac{1}{2}\theta$.
$\because \angle AFD+\angle DFB=180^{\circ}$，$\angle DFB+\angle DHB=180^{\circ}$，
$\therefore \angle AFD=\angle DHB$.
$\because \angle A+\angle ADF+\angle AFD=180^{\circ}$，$\angle AFD=\angle DHB=\angle C+\angle HBG$，$\therefore \angle A+\frac{\theta}{2}+\angle C+\frac{\theta}{2}=180^{\circ}$，
$\therefore \alpha+\beta+\theta=180^{\circ}$.
归纳总结 本题考查圆周角定理、弧、弦与直径的关系、三角形内角和定理、圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

15.（12分）（2023·北京中考）如图，圆内接四边形$ABCD$的对角线$AC$、$BD$交于点$E$，$BD$平分$\angle ABC$，$\angle BAC=\angle ADB$.

（1）求证：$DB$平分$\angle ADC$，并求$\angle BAD$的大小；
（2）过点$C$作$CF// AD$交$AB$的延长线于点$F$，若$AC=AD$，$BF=2$，求此圆半径的长.!

答案： 15.
(1)$\because \angle BAC=\angle ADB$，$\angle BAC=\angle CDB$，
$\therefore \angle ADB=\angle CDB$，$\therefore BD$平分$\angle ADC$.
$\because BD$平分$\angle ABC$，$\therefore \angle ABD=\angle CBD$.
$\because$四边形$ABCD$是圆内接四边形，
$\therefore \angle ABC+\angle ADC=180^{\circ}$，
$\rightarrow$圆内接四边形对角互补.
$\therefore \angle ABD+\angle CBD+\angle ADB+\angle CDB=180^{\circ}$，
$\therefore 2(\angle ABD+\angle ADB)=180^{\circ}$，
$\therefore \angle ABD+\angle ADB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BAD=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$.
(2)$\because \angle BAE+\angle DAE=90^{\circ}$，$\angle BAE=\angle ADE$，
$\therefore \angle ADE+\angle DAE=90^{\circ}$，$\therefore \angle AED=90^{\circ}$.
$\because \angle BAD=90^{\circ}$，$\therefore BD$是圆的直径，
$\therefore BD$垂直平分$AC$，$\therefore AD=CD$.
$\because AC=AD$，$\therefore \triangle ACD$是等边三角形，$\therefore \angle ADC=60^{\circ}$.
$\because BD\perp AC$，$\therefore \angle BDC=\frac{1}{2}\angle ADC=30^{\circ}$.
$\because CF// AD$，$\therefore \angle F+\angle BAD=180^{\circ}$，$\therefore \angle F=90^{\circ}$.
$\because$四边形$ABCD$是圆内接四边形，
$\therefore \angle ADC+\angle ABC=180^{\circ}$.
$\because \angle FBC+\angle ABC=180^{\circ}$，$\therefore \angle FBC=\angle ADC=60^{\circ}$，
$\therefore BC=2BF=4$.
$\because \angle BCD=90^{\circ}$，$\angle BDC=30^{\circ}$，$\therefore BC=\frac{1}{2}BD$.
$\because BD$是圆的直径，$\therefore$圆的半径长是4.

16.（14分）如图，在两个同心圆$\odot O$中，大圆的弦$AB$与小圆相交于$C$、$D$两点.
（1）求证：$AC=BD$；
（2）若$AC=2$，$BC=4$，大圆的半径$R=5$，求小圆的半径$r$的值；
（3）若$AC· BC$等于12，请直接写出两圆之间圆环的面积.（结果保留$\pi$）!

答案：
16.
(1)如图，过点$O$作$OE\perp AB$于点$E$.
由垂径定理，得$AE=BE$，$CE=DE$，
$\therefore AE-CE=BE-DE$，$\therefore AC=BD$.
(2)如图，连接$OC$、$OA$.
$\because AC=2$，$BC=4$，
$\therefore AB=AC+BC=2+4=6$，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AB=3$，
$\therefore CE=AE-AC=3-2=1$.
在$Rt\triangle AOE$中，由勾股定理，得$OE^{2}=OA^{2}-AE^{2}=5^{2}-3^{2}=16$，在$Rt\triangle COE$中，由勾股定理，得$OC^{2}=CE^{2}+OE^{2}=1+16=17$，
$\therefore OC=\sqrt{17}$，即小圆的半径$r$为$\sqrt{17}$.
(3)圆环的面积为$12\pi$.