《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

21. (2025·重庆模拟)除夕当天，小南和小津相约同时从家出发前往外婆家吃年夜饭.如图，小南从家$A$处出发步行至小青家$B$处，再步行到达正东方向的朝旭百货$C$处，最后步行到达外婆家$D$处.小津从家$F$处出发步行至商店$E$处，再步行至外婆家.已知$B$在$A$的东北方向，且$AB = 2\ 000$米，$BC = 200$米，$C$在$E$的正北方向，且在$D$的北偏西$60°$方向，$E$既在$F$的南偏东$53°$方向，又在$D$的南偏西$30°$方向，且$DE = 1\ 500$米，$F$在$A$的正东方向.(参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.41$，$\sqrt{3} \approx 1.73$，$\sin 53° \approx 0.8$，$\cos 53° \approx 0.6$)
(1)求小津家$F$处与商店$E$处的距离；(结果保留根号)
(2)小南步行的平均速度为$90$米/分，小津步行的平均速度为$60$米/分，请计算说明小南和小津谁先到达外婆家.(结果精确到$0.1$)

答案：
21.
(1)连接$CE$，延长$AF$交$CE$于点$G$，过点$B$作$BH\perp AG$于点$H$，如图：

$\because C$在$E$的正北方向，$F$在$A$的正东方向，
$\therefore AG\perp CE$.$\because BH\perp AG$，$C$在$B$的正东方向，
$\therefore$四边形$BCGH$为矩形，
$\therefore GH = BC = 200$米，$CG = BH$.
$\because B$在$A$的东北方向，$\therefore\angle BAH = 45^{\circ}$，
$\therefore BH = AB×\sin45^{\circ}=2000×\frac{\sqrt{2}}{2}=1000\sqrt{2}$(米)，
$AH = AB×\cos45^{\circ}=2000×\frac{\sqrt{2}}{2}=1000\sqrt{2}$(米)，
$\therefore CG = BH = 1000\sqrt{2}$米.
$\because C$在$D$的北偏西$60^{\circ}$方向，$E$在$D$的南偏西$30^{\circ}$方向，
$\therefore\angle CDE = 90^{\circ}$，$\angle CED = 30^{\circ}$，
$\therefore CE=\frac{DE}{\cos30^{\circ}}=\frac{1500}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=1000\sqrt{3}$(米)，
$CD = DE×\tan30^{\circ}=1500×\frac{\sqrt{3}}{3}=500\sqrt{3}$(米)，
$\therefore EG = CE - CG = 1000(\sqrt{3}-\sqrt{2})$(米).
$\because E$在$F$的南偏东$53^{\circ}$方向，
$\therefore\angle GEF = 53^{\circ}$，
$\therefore EF=\frac{GE}{\cos53^{\circ}}=\frac{1000(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{0.6}=\frac{5000(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3}$(米)，
故小津家$F$处与商店$E$处的距离为$\frac{5000(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3}$米.
(2)$\because CD = 500\sqrt{3}$米，$EF=\frac{5000(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3}$米，
$\therefore$小南需要的时间为$\frac{2000 + 200+500\sqrt{3}}{90}\approx34.1$(分钟)，小津需要的时间为$\frac{\frac{5000(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3}+1500}{60}\approx33.9$(分钟).
$\because34.1＞33.9$，$\therefore$小津先到达外婆家.