《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

19. （8分）解下列方程：
（1）$x^2 + 2x - 1 = 0$；
（2）$(x - 1)^2 + 2x(x - 1) = 0$.

答案： 19.
(1)$\because x^{2}+2x - 1=0,\therefore (x + 1)^{2}=2$，$\therefore x_{1}=-1+\sqrt{2},x_{2}=-1-\sqrt{2}$.
(2)$\because (x - 1)^{2}+2x(x - 1)=0$，$\therefore (x - 1)(x - 1 + 2x)=0,\therefore (x - 1)(3x - 1)=0$，$\therefore x - 1=0,3x - 1=0,\therefore x_{1}=1,x_{2}=\frac{1}{3}$.

20. （8分）（2024·南充中考）已知$x_1$、$x_2$是关于$x$的方程$x^2 - 2kx + k^2 - k + 1 = 0$的两个不相等的实数根.
（1）求$k$的取值范围；
（2）若$k ＜ 5$，且$k$、$x_1$、$x_2$都是整数，求$k$的值.

答案： 20.
(1)$\because$原方程有两个不相等的实数根，$\therefore \Delta＞0,\therefore \Delta=(-2k)^{2}-4×1×(k^{2}-k + 1)=4k^{2}-4k^{2}+4k - 4=4k - 4＞0$，解得$k＞1$.
(2)$\because 1＜k＜5$，$\therefore$整数$k$的值为2、3、4. 当$k = 2$时，方程为$x^{2}-4x + 3=0$，解得$x_{1}=1,x_{2}=3$；当$k = 3$或4时，此时方程的解不为整数. 综上所述，$k$的值为2.

21. （8分）（2024·云南中考）为使学生更加了解云南，热爱家乡，热爱祖国，体验“有一种叫云南的生活”. 某校七年级年级组准备从博物馆$a$、植物园$b$两个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等；八年级年级组准备从博物馆$a$、植物园$b$、科技馆$c$三个研学基地中，随机选择一个基地研学，且每个基地被选到的可能性相等. 记选择博物馆$a$为$a$，选择植物园$b$为$b$，选择科技馆$c$为$c$，记七年级年级组的选择为$x$，八年级年级组的选择为$y$.
（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求$(x,y)$所有可能出现的结果总数；
（2）求该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的概率$P$.

答案： 21.
(1)由题意可列表如下： | | a | b | c | | --- | --- | --- | --- | | a | (a,a) | (b,a) | (c,a) | | b | (a,b) | (b,b) | (c,b) | | c | (a,c) | (b,c) | (c,c) | 由表格可知，所有可能出现的结果总数为6种.
(2)由表格可知，该校七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同的情况有4种， $\therefore P$(七年级年级组、八年级年级组选择的研学基地互不相同)$=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.