《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

27. (10 分)(2025·无锡新吴区期中)已知线段 AM=5,射线 AS 垂直于 AM,点 N 在射线 AS 上,设 AN=n,点 P 在经过点 N 且平行于 AM 的直线上运动,∠PAM 的平分线交直线 NP 于点 Q,过点 Q 作 QB//AP,交线段 AM 于点 B,连接 PB 交 AQ 于点 C,以 Q 为圆心,QC 为半径作圆.
(1)判断 PB 与⊙Q 的位置关系:相切.
(2)已知⊙Q 的半径为 3,当 AM 所在直线与⊙Q 相切时,求 PA 的长.
(3)当 n=2 时,若⊙Q 与线段 AM 只有一个公共点,则⊙Q 的半径的取值范围是多少?

答案：
27.
(1)相切 [解析]
∵∠PAM的平分线交直线NP于点Q，
∴∠PAQ=∠BAQ.
∵PQ//AB，
∴∠PQA=∠BAQ，
∴∠PAQ=∠PQA，
∴PA=PQ.
又QB//PA，
∴四边形APQB为平行四边形，
∴四边形APQB为菱形，
∴PB⊥AQ，垂足为C.
∵QC为半径，
∴PB与⊙Q相切.
(2)如图
(1)，当AM与⊙Q相切于点D时，AN=QD=QC=3，∠ADQ=90°.由
(1)，得四边形APQB为菱形，
∴AQ=6.
在Rt△ADQ中，AD=$\sqrt{AQ²−QD²}$=3$\sqrt{3}$.
设AP=AB=BQ=x，则BD=3$\sqrt{3}$−x，
在Rt△BDQ中，(3$\sqrt{3}$−x)²+3²=x²，
解得x=2$\sqrt{3}$，
∴PA=2$\sqrt{3}$.

(3)如图
(1)，当⊙Q与AM相切时，r=2，此时⊙Q与AM只有一个公共点.
当⊙Q过点M时，如图
(2)，连接QM，作QE⊥AM于点E，则QM=QC=x，则AQ=2x，由NQ+ME=AM=5，
得$\sqrt{(2x)²−2²}$+$\sqrt{x²−2²}$=5.
设x²=y，则方程转化为9y²−250y+1025=0，
方程中出现根号时可利用换元法消去
根号来简化方程，使解题更快
解得y₁=5，y₂=$\frac{205}{9}$，
∴x₁=$\sqrt{5}$，x₂=$\frac{\sqrt{205}}{3}$（舍去）.
当⊙Q第二次经过点M时，作ME⊥NQ于点E，如图
(3)，设QM=QC=x，则AQ=2x，由NQ−EQ=
AM=5，得$\sqrt{(2x)²−2²}$−$\sqrt{x²−2²}$=5.
设x²=y，则方程转化为9y²−250y+1025=0，
解得y₁=5，y₂=$\frac{205}{9}$，
∴x₁=$\sqrt{5}$，x₂=$\frac{\sqrt{205}}{3}$（舍去），
∴⊙Q与线段AM只有一个公共点，则⊙Q的半径的取值范围是QC=2或$\sqrt{5}$＜QC≤$\frac{\sqrt{205}}{3}$.

28. (10 分)中考新考法 操作探究 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(6,0)、B(0,6),动点 C 在以 3 为半径的⊙O 上,连接 OC,过点 O 作 OD⊥OC,OD 与⊙O 相交于点 D(其中点 C、O、D 按逆时针方向排列),连接 AB.
(1)当 OC//AB 时,∠BOC 的度数为45°或135°.
(2)连接 AC、BC,当点 C 在⊙O 上运动到什么位置时,△ABC 的面积最大? 并求出△ABC 的面积的最大值.

(3)连接 AD,当 OC//AD 时.
①求点 C 的坐标.
②直线 BC 是否为⊙O 的切线? 请作出判断,并说明理由.

答案：
28.
(1)45°或135°
(2)当CO的延长线与AB垂直时(如图
(1)所示)，△ABC的面积最大.设CO的延长线交AB于点E.
由题意，得OA=OB=6，AB=6$\sqrt{2}$.
又OE⊥AB，
∴OE=3$\sqrt{2}$.
又OC=3，
∴CE=3+3$\sqrt{2}$，
∴S△ABC的最大值=$\frac{1}{2}$AB·CE=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{2}$×(3+3$\sqrt{2}$)=18+9$\sqrt{2}$.
(3)①如图
(2)，连接AD，过点C作CF⊥x轴，垂足为F.
∵OC//AD，OC⊥OD，
∴OD⊥AD，
∴∠ADO=90°.
又OD=3，AO=6，
∴∠AOD=60°，
∴∠COF=30°.
又OC=3，
∴OF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，CF=$\frac{3}{2}$，
∴C(−$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$).
②直线BC是⊙O的切线.理由如下：
如图
(2)，连接BC.
∵∠AOD+∠DOB=90°，∠COB+∠DOB=90°，
∴∠AOD=∠BOC.
在△AOD和△BOC中，$\begin{cases}AO=BO,\\\angle AOD=\angle BOC,\\OD=OC.\end{cases}$
∴△AOD≌△BOC(SAS)，
∴∠ADO=∠BCO.
由①，可知∠ADO=90°，
∴∠BCO=90°，即OC⊥BC.又OC为⊙O半径.
故直线BC为⊙O的切线.