《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

8.如图，在平面直角坐标系$xOy$中，$A(3,4)$为$\odot O$上一点，$B$为$\odot O$内一点，则点$B$的坐标为(0,0)(写出一种即可).

答案： 8.$(0,0)$（答案不唯一） [解析]连接$OA$，$OA=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$.
$\because B$为$\odot O$内一点，$\therefore OB＜5$，
$\therefore$符合要求的点$B$的坐标为$(0,0)$（答案不唯一）.

9.(2025·苏州期中)如图，$\odot O$的直径$CD=10\ cm$，$AB$是$\odot O$的弦，$AB\bot CD$，垂足为$M$，$OM:OC=3:5$，则$AB=$8$ cm$.

答案：
9.8 [解析]圆$O$的直径$CD=10 cm$，
$\therefore$圆$O$的半径为$5cm$，即$OC=OA=5cm$.
$\because OM:OC=3:5$，$\therefore OM=\frac{3}{5}OC=3 cm$.
如图，连接$OA$.$\because AB\perp CD$，$\therefore AM=BM=\frac{1}{2}AB$.

在$Rt\triangle AOM$中，$OA=5 cm$，$OM=3 cm$，
由勾股定理得$AM=\sqrt{OA^{2}-OM^{2}}=4cm$，
则$AB=2AM=8 cm$.
知识拓展 此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长、半圆心角、圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线.

10. 转化思想(南京中华中学特长生)如图，$\angle ACB=90^{\circ}$，$\triangle DEF$中，$\angle D=90^{\circ}$，$DE=3$，$DF=4$，点$E$、$F$分别在射线$CB$、$CA$上滑动，开始时，点$F$与点$C$重合.当点$E$向点$C$运动时，点$F$沿着$CA$方向运动(保持$\triangle DEF$形状不变)，点$E$从起始位置运动到点$C$的过程中，点$D$的运动轨迹的长度是2.

答案：
10.2 [解析]在运动过程中，如图，
作$EF$中点$M$，连接$CM$、$DM$、$CD$，
由斜边中线可得$CM=DM=\frac{1}{2}EF=\frac{5}{2}$.$\because \angle ECF=\angle EDF=90^{\circ}$，$\therefore$点$C$、$E$、$D$、$F$在以$EF$为直径的圆上.
$\rightarrow$若四边形中有两个对角为$90^{\circ}$，则四边形可确定一个圆，且圆心为另一条对角线的中点.当$C$、$M$、$D$共线时，$CD$最大值为$CM+DM=5$，
当$E$与$C$重合时，$CD$最小值和$ED$相等，为3，
$\therefore$点$D$的运动轨迹（注意，不是路程）长度为$5-3=2$.

11.（8分）（2025·徐州睢宁期中）如图，$AB$是$\odot O$的直径，点$D$在$\odot O$上，点$C$是$\overset{\frown}{BD}$的中点，连接$AD$.判断$AD$与$OC$的位置关系，并说明理由.!

答案： 11.$AD// OC$.理由如下：
$\because$点$C$是$BD$的中点，$\therefore \angle BOC=\angle DOC$，
$\because \angle A=\frac{1}{2}\angle BOD$，$\therefore \angle BOC=\angle A$，$\therefore OC// AD$.

12.（8分）（2025·扬州仪征期中）如图，四边形$ABCD$内接于一圆，延长$BC$到点$E$.

（1）求证：$\angle DAB=\angle DCE$；
（2）连接$AC$、$BD$，若$\angle DAB=65^{\circ}$，$CD$平分$\angle ACE$，求$\angle ADB$的度数.!

答案： 12.
(1)$\because$四边形$ABCD$内接于圆，
$\therefore \angle DAB+\angle DCB=180^{\circ}$.
$\because \angle DCE+\angle DCB=180^{\circ}$，$\therefore \angle DAB=\angle DCE$.
(2)由
(1)可知$\angle DCE=\angle DAB=65^{\circ}$.
$\because CD$平分$\angle ACE$，$\therefore \angle ACE=2\angle DCE=130^{\circ}$，
$\therefore \angle ACB=180^{\circ}-130^{\circ}=50^{\circ}$.
由圆周角定理得$\angle ADB=\angle ACB=50^{\circ}$.

13.（8分） 拱桥模型 石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图（1）），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表.如图（2）是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为$\overset{\frown}{AB}$，桥的跨度（弧所对的弦长）$AB=26\ m$，设$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为$O$，半径$OC\bot AB$，垂足为$D$，拱高（弧的中点到弦的距离）$CD=5\ m$，连接$OB$.
（1）直接判断$AD$与$BD$的数量关系；
（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到$1\ m$）.
（1）（2）!

答案： 13.
(1)$\because OC\perp AB$，$\therefore AD=BD$.
(2)设主桥拱半径为$Rm$，由题意可知$AB=26m$，$CD=5m$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}AB=13m$，$OD=(R-5)m$.
$\because \angle ODB=90^{\circ}$，$\therefore OD^{2}+BD^{2}=OB^{2}$，
$\therefore (R-5)^{2}+13^{2}=R^{2}$，解得$R=19.4\approx19$.
故这座石拱桥主桥拱的半径约为$19m$.