《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

24.(8分) 数形结合思想 (2025·甘肃兰州榆中期末)已知关于$x$的方程$x ^ { 2 } - (k + 2)x + 2k = 0$.若等腰三角形
ABC的一边长$a = 3$,另两边长$b$、$c$恰好是这个方程的两个根,求$\bigtriangleup ABC$的周长.

答案： 24.
∵$\Delta=b^{2}-4ac=(k-2)^{2}\geq0$，
∴方程有两个实数根.
解方程$x^{2}-(k+2)x+2k=0$，可得
$x=\frac{k+2\pm(k-2)}{2}$，则$x_1=k$，$x_2=2$.
∵$\Delta ABC$为等腰三角形，
⇒遇到等腰三角形，注意腰与底不确定时要分类讨论
∴当$k=3$时，三边长为3、3、2，此时周长为$3+3+2=8$.
当$k=2$时，三边长为3、2、2，此时周长为$2+2+3=7$.
综上所述，$\Delta ABC$的周长是8或7.

25.(8分)超市某商品进价为20元,每天的销量$y$(件)与售价$x$(元)的函数关系如图.

(1)求$y$与$x$的函数关系式.
(2)要使每天获得1440元的利润,且能让消费者减少花费,求此时的售价.
(3)该超市能否保证每天获得2500元的利润?请说明理由.

答案： 25.
(1)设$y$与$x$的函数关系式为$y=kx+b(k\neq0)$.
将$(25,250)、(40,100)$代入$y=kx+b$，
得$\begin{cases}25k+b=250,\\40k+b=100,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-10,\\b=500,\end{cases}$
∴$y$与$x$的函数关系式为$y=-10x+500$.
(2)根据题意，得$(x-20)(-10x+500)=1440$，
整理，得$x^{2}-70x+1144=0$，
解得$x_1=26$，$x_2=44$.
∵要让消费者减少花费，
∴$x=26$.
故此时的售价为26元.
(3)该超市不能保证每天获得2500元的利润.理由如下：
假设该超市能保证每天获得2500元的利润，
根据题意，得$(x-20)(-10x+500)=2500$，
整理，得$x^{2}-70x+1250=0$.
∵$\Delta=(-70)^{2}-4×1×1250=-100＜0$，
∴该方程没有实数根，
∴假设不成立，即该超市不能保证每
天获得2500元的利润.