《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

24. (8 分)如图，小明乘高铁从南向北匀速行驶，速度为 50 m/s. 小明在$B$处通过窗口看到远处两棵树(记为$C$和$D$)，此时$C$在小明的北偏东$45°$方向，$D$在小明的北偏东$63.4°$方向. 7 s 后，小明到达$A$处，此时$C$和$D$恰好都在自己的南偏东$53.1°$方向. 求两棵树之间的距离$CD$.(参考数据：$\tan 63.4° \approx 2$，$\tan 53.1° \approx \frac43$)

答案：
24.[解析]本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是正确构造直角三角形.
过点$C$、$D$分别作$CE\perp AB$，$DH\perp AB$，垂足为$E$、$H$，先求出$AB$，解$ Rt \triangle AEC$，可设$CE=4x$，$AE=3x$，由勾股定理得$AC=\sqrt{AE^{2}+CE^{2}}=5x$，确定$\triangle CEB$为等腰直角三角形，则$BE=CE=4x$，由$AB=AE+EB$，求出$x$，则$AC$即可求解，解$ Rt \triangle ADH$，设$DH=4y$，$AH=3y$，$AD=5y$，解$ Rt \triangle DHB$可得$BH=2y$，由$AB=AH+BH$，求出$y$，即可求解$AD$，最后由$CD=AD-AC$即可求解.
解：过点$C$、$D$分别作$CE\perp AB$，$DH\perp AB$，垂足为$E$、$H$.

由题意，得$AB=50 × 7=350(m)$.
$\because$在$ Rt \triangle AEC$中，$\tan \angle CAE=\tan53.1^{\circ}=\frac{CE}{AE}=\frac{4}{3}$，
设$CE=4x$，$AE=3x$，$\therefore AC=\sqrt{AE^{2}+CE^{2}}=5x$.
$\because \angle CBA=45^{\circ}$，$CE\perp AB$，
$\therefore \triangle CEB$为等腰直角三角形，
$\therefore BE=CE=4x$，由$AB=AE+EB$，得$7x=350$，解得$x=50$，
$\therefore AC=5 × 50=250(m)$.
$\because$在$ Rt \triangle ADH$中，$\tan \angle DAH=\tan53.1^{\circ}=\frac{DH}{AH}=\frac{4}{3}$，
$\therefore$设$DH=4y$，$AH=3y$，同理可得$AD=5y$.
$\because$在$ Rt \triangle DHB$中，$\tan \angle ABD=\frac{DH}{BH}=2$，
$\therefore BH=2y$，$\therefore AB=AH+BH=5y=350$，
解得$y=70$，$\therefore AD=5 × 70=350(m)$，
$\therefore CD=AD-AC=350-250=100(m)$，
故两棵树之间的距离$CD$为$100m$.

25. (9 分)已知二次函数$y = x^2 - 2mx + m^2 + m + 1$的图像为$C$.
(1) 用$m$表示图像$C$的顶点坐标；
(2) 证明：当$m ＜ -1$，图像$C$与$x$轴有两个交点；
(3) 记一次函数$y = mx + m$($m$是常数，$m \neq 0$，$-1 \leq x \leq 4$)的图像为线段$AB$，若图像$C$与线段$AB$恰有一个公共点，直接写出$m$的取值范围.

答案：
25.[解析]本题主要考查了一次函数的图像与性质、二次函数的图像与性质，解决本题的关键是根据一次函数与二次函数的性质确定函数图像的交点.
(1)把二次函数的表达式化成顶点坐标式，即可得到图像$C$的顶点坐标为$(m,m+1)$；
(2)当$y=0$时，可得$x^{2}-2mx+m^{2}+m+1=0$，利用一元二次方程根与系数的关系可证当$m ＜ -1$时，图像$C$与$x$轴有两个交点；
(3)①当$m ＞ 0$时，一次函数$y=mx+m$（$m$是常数，$m \neq 0$，$-1\leq x\leq 4$）的图像为线段$AB$，
当$x=-1$时，$y=0$，当$x=4$时，$y=5m$.
设点$A$的坐标为$(-1,0)$，点$B$的坐标为$(4,5m)$.
依题意，图像$C$与线段$AB$恰有一个公共点，
如图
(1).

当$x=-1$时，$y=(-1-m)^{2}+m+1\geq 0$，
解得$m\geq -1$或$m\leq -2$，
当$x=4$时，$y=(4-m)^{2}+m+1 ＜ 5m$，
解得$6-\sqrt{19} ＜ m ＜ 6+\sqrt{19}$，
$\therefore 6-\sqrt{19} ＜ m ＜ 6+\sqrt{19}$.
②当$m ＜ 0$时，如图
(2).

依题意，得$\begin{cases} (-1-m)^{2}+m+1\leq 0, \\ (4-m)^{2}+m+1\geq 5m, \end{cases}$
解得$-2\leq m\leq -1$.
综上所述，$6-\sqrt{19} ＜ m ＜ 6+\sqrt{19}$或$-2\leq m\leq -1$时，图像$C$与线段$AB$恰有一个公共点.

26. (8 分)尺规作图：求作一个等腰三角形，使它分别满足以下要求：(要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明)

(1) 底边长为$a$，底边上的高长为$b$；
(2) 腰上的高长为$a$，底边上的高长为$b$.
(第 26 题)

答案：
26.[解析]本题考查了作垂线，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等，掌握基本作图技能是解题的关键.
(1)在射线$AE$上截取线段$AB=a$，作线段$AB$的垂直平分线，垂足为$D$，并截取$DC=b$，连接$AC$、$BC$，则$\triangle ABC$即为所求；
(2)在直线$MN$上取点$D$，过点$D$作$AD\perp MN$且使得$AD=b$，以点$D$为圆心，$\frac{1}{2}a$为半径画圆，再以$AD$为直径画圆，两圆相交于点$E$、$F$，连接$AE$、$AF$并延长，分别交直线$MN$于点$B$、$C$，连接$DF$，过点$B$作$BH\perp AC$于$H$，由$AD$是直径可得$DF\perp AC$，即得$DF// BH$，即得到$\triangle CDF \backsim \triangle CBH$，进而由相似三角形的性质可得$BH=2DF=a$，故$\triangle ABC$即为所求.
解：
(1)如图
(1)所示，$\triangle ABC$即为所求；

(2)如图所示，$\triangle ABC$即为所求.