《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

27.(12 分)圣女果,常被称为小西红柿,中文正式名称为樱桃番茄,是一年生草本植物,属茄科番茄属.某水果店对一款成本价为每盒$20$元的圣女果进行销售,如果按每盒$40$元销售,每天可卖出$60$盒.通过市场调查发现,每盒圣女果售价每上涨$1$元,则日销售量减少$2$盒.
(1)若该水果店某天销售圣女果的盈利为$1248$元,求每盒圣女果的售价.
(2)当每盒圣女果的售价定为多少元时,该水果店销售圣女果可以获得最大日利润?并求出最大日利润.
(3)若该水果店销售圣女果获得的利润不低于$1218$元,则圣女果售价$m$(元/盒)的取值范围为41≤m≤49.

答案： 27.[解析]本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用.
(1)根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；
(2)根据题意，可以写出利润与售价的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可得到当每盒圣女果的售价定为多少元时，该水果店销售圣女果可以获得最大日利润，并求出最大日利润；
(3)先求出利润为1218元时对应的售价，然后根据二次函数的性质，即可写出m的取值范围.
解：$(1)$设每盒圣女果的售价为$a$元.由题意可得$(a-20)[60-(a-40)× 2]=1248$，解得$a_{1}=44$，$a_{2}=46$.故每盒圣女果的售价为44元或46元.
$(2)$设当每盒圣女果的售价定为$x$元时，该水果店销售圣女果可以获得最大日利润.由题意，可得$w=(x-20)[60-(x-40)× 2]=-2(x-45)^{2}+1250$，$\therefore$当$x=45$时，$w$取得最大值1250.故当每盒圣女果的售价定为45元时，该水果店销售圣女果可以获得最大日利润，且最大日利润为1250元.
$(3)41\leqslant m\leqslant 49$ 提示：令$(m-20)[60-(m-40)× 2]=1218$，解得$m_{1}=41$，$m_{2}=49$，$\therefore$若该水果店销售圣女果获得的利润不低于1218元，则圣女果售价$m$(元/盒)的取值范围为$41\leqslant m\leqslant 49$.

28.(12 分)中考新考法 最值问题 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=6$,$BC=8$,点$P$在射线$AD$上运动,以$BP$为直角边向右作$ Rt\triangle PBQ$,使得$\angle BPQ=90^{\circ}$,$BP=2PQ$,连接$CQ$.
(1)若$\triangle ABP$与$\triangle BPQ$相似,则$AP=$2或8;
(2)当$AP=2$时,求$CQ$的值;
(3)求$CQ$的最小值.

答案：
28.[解析]本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质.
(1)根据矩形的性质得到$\angle A=90^{\circ}$，求得$\angle BPQ=\angle A=90^{\circ}$，根据相似三角形的性质即可得到结论；
(2)过点Q作$MN\perp AD$交AD于点M，交BC于点N，则$\angle A=\angle PMQ=\angle CNQ=90^{\circ}$，$AB=MN=6$，根据相似三角形的判定和性质得到$\frac{AP}{MQ}=\frac{AB}{MP}=\frac{BP}{PQ}$，设$MQ=x$，则$NQ=6-x$，求得$NQ=5$，$CN=3$，根据勾股定理得到$CQ=\sqrt{34}$；
(3)过点Q作$MN\perp AD$交AD于点M，交BC于点N.
由
(2)得$\frac{AP}{MQ}=\frac{AB}{MP}=\frac{BP}{PQ}$，设$MQ=x$，则$NQ=6-x$.$\because BP=2PQ$，$AP=2$，$\therefore \frac{2}{x}=\frac{6}{PM}=2$，$\therefore x=1$，$PM=3$，$\therefore NQ=5$，$CN=DM=AD-MP-AP=8-3-2=3$，$\therefore CQ^{2}=QN^{2}+CN^{2}=5^{2}+3^{2}=34$，$\therefore CQ=\sqrt{34}$.

$(3)$过点Q作$MN\perp AD$交AD于点M，交BC于点N.
由$(2)$得$\frac{AP}{MQ}=\frac{AB}{MP}=\frac{BP}{PQ}$，设$MQ=x$，则$NQ=6-x$.
$\because BP=2PQ$，$\therefore \frac{AP}{x}=\frac{6}{MP}=\frac{BP}{PQ}=2$，$\therefore AP=2x$，$MP=3$，
$\therefore CN=DM=AD-MP-AP=8-3-2x=5-2x$，
$\therefore CQ^{2}=QN^{2}+CN^{2}=(6-x)^{2}+(5-2x)^{2}=5(x-\frac{16}{5})^{2}+\frac{49}{5}$，当$x=\frac{16}{5}$时，$CQ^{2}$的最小值为$\frac{49}{5}$，$\therefore CQ$长的最小值为$\frac{7\sqrt{5}}{5}$.
方法诠释 相似三角形的判定与性质：相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；⑤三边对应成比例的两个三角形相似.相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方.