《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

1. 中考新考法 新定义问题(2024·眉山中考)定义运算：$a \otimes b = (a + 2b)(a - b)$，例如$4 \otimes 3 = (4 + 2 × 3)(4 - 3)$，则函数$y = (x + 1) \otimes 2$的最小值为(B)。

A.-21
B.-9
C.-7
D.-5

答案： 1. B [解析]由题意，得$y=(x+1)\otimes2=(x+1+2×2)(x+1-2)=(x+5)(x-1)$，即$y=x^{2}+4x-5=(x+2)^{2}-9$，
$\therefore$函数$y=(x+1)\otimes2$的最小值为$-9$. 故选B.

2. 数形结合思想 如图,已知抛物线$y = ax^2 + c$与直线$y = kx + m$交于$A(-3, y_1)$、$B(1, y_2)$两点,则关于$x$的不等式$ax^2 + c \geq -kx + m$的解集是(D)。

A.$x \leq -3$或$x \geq 1$
B.$x \leq -1$或$x \geq 3$
C.$-3 \leq x \leq 1$
D.$-1 \leq x \leq 3$

答案：
2. D [解析]$\because y=kx+m$与$y=-kx+m$的图像关于$y$轴对称，
$\therefore$直线$y=-kx+m$与抛物线$y=ax^{2}+c$的交点$A'$、$B'$分别与点$A$、
$B$也关于$y$轴对称，如图所示.
$\because A(-3,y_{1})$、$B(1,y_{2})$，
$\therefore A'(3,y_{1})$、$B'(-1,y_{2})$. 根据函
数图像，得不等式$ax^{2}+c\geqslant -kx+m$的解集是$-1\leqslant x\leqslant3$. 故选D.

3. (2023·大连中考)已知二次函数$y = x^2 - 2x - 1$，当$0 \leq x \leq 3$时，函数的最大值为(D)。

A.-2
B.-1
C.0
D.2

答案： 3. D [解析]由二次函数的表达式为$y=x^{2}-2x-1$可知，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$.
又$1-0＜3-1$，所以当$x=3$时，函数取得最大值，$y=3^{2}-2×3-1=2$. 故选D.

4. (2025·南通海门区期末)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度$h$(单位：m)与小球的运动时间$t$(单位：s)之间的关系式是$h = -5t^2 + 30t (0 \leq t \leq 6)$，则小球运动中的最大高度为(A)。

A.45 m
B.40 m
C.35 m
D.50 m

答案： 4. A [解析]$\because h=30t-5t^{2}=-5(t-3)^{2}+45$，$0＜t＜6$，
且$-5＜0$，$\therefore$小球运动中的最大高度为$45\ {m}$. 故选A.

5. 分类讨论思想(2024·福建中考)已知二次函数$y = x^2 - 2ax + a (a \neq 0)$的图像经过$A(\frac{a}{2}, y_1)$、$B(3a, y_2)$两点,则下列判断正确的是(C)。

A.可以找到一个实数$a$，使得$y_1 ＞ a$
B.无论实数$a$取什么值，都有$y_1 ＞ a$
C.可以找到一个实数$a$，使得$y_2 ＜ 0$
D.无论实数$a$取什么值，都有$y_2 ＜ 0$

答案： 5. C [解析]$\because$二次函数表达式为$y=x^{2}-2ax+a(a\neq0)$，
$\therefore$二次函数开口向上，且对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2}=a$，顶点坐标为$(a,a-a^{2})$. 当$a＞0$时，$0＜\frac{a}{2}＜a$，$\therefore a-a^{2}＜y_{1}＜a$，当$a＜0$时，$a＜\frac{a}{2}＜0$，$\therefore a-a^{2}＜y_{1}＜a$，故A、B错误，不符合题意；
当$a＞0$时，$0＜a＜2a＜3a$，由二次函数对称性可知点$(0,a)$和点$(2a,a)$关于对称轴对称，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大，$\therefore$当$x=3a$时，$y_{2}＞a＞0$；当$a＜0$时，
$3a＜2a＜a＜0$，由二次函数对称性可知点$(0,a)$和点$(2a,a)$关于对称轴对称，在对称轴左侧，$y$随$x$的增大而减小，$\therefore$当$x=3a$时，$y_{2}＞a$，不一定大于$0$. 故C正确，符合题意；D错误，不符合题意. 故选C.

6. (2023·达州中考)如图,抛物线$y = ax^2 + bx + c (a、b、c$为常数)关于直线$x = 1$对称.下列五个结论：
①$abc ＞ 0$;②$2a + b = 0$;③$4a + 2b + c ＞ 0$;④$am^2 + bm ＞ a + b$;⑤$3a + c ＞ 0$.其中正确的有(B)。

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

答案： 6. B [解析]$\because$抛物线$y=ax^{2}+bx+c(a$、$b$、$c$为常数$)$关于直线$x=1$对称，$\therefore-\frac{b}{2a}=1$.
$\because a＞0$，$\therefore b=-2a＜0$.$\because c＜0$，$\therefore abc＞0$，故①正确；
开口方向反映$a$的正负，对称轴的位置反映$b$的正负，与$y$轴的交点位置反映$c$的正负
$\because b=-2a$，$\therefore2a+b=0$，故②正确；
$\because$当$x=0$时，$y＜0$，对称轴为直线$x=1$，$\therefore$当$x=2$时，$y＜0$，$\therefore4a+2b+c＜0$，故③错误；
$\because$抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，$\therefore am^{2}+bm+c\geqslant a+b+c$，即$am^{2}+bm\geqslant a+b$，故④错误；
$\because x=-1$时，$y＞0$，$\therefore a-b+c＞0$.
$\because b=-2a$，$\therefore3a+c＞0$，故⑤正确
综上所述，正确的有$3$个. 故选B.

7. (2023·广东中考)如图,抛物线$y = ax^2 + c$经过正方形OABC的三个顶点A、B、C,点B在$y$轴上,则$ac$的值为(B)。

A.-1
B.-2
C.-3
D.-4

答案：
7. B [解析]过点$A$作$AH\perp x$轴于点$H$，如图.

$\because$四边形$ABCO$是正方形，$\therefore\angle AOB=45°$，
$\therefore\angle AOH=45°$，$\therefore AH=OH$.
设$A(m,m)$，则$B(0,2m)$，$\therefore\begin{cases}m=am^{2}+c,\\2m=c,\end{cases}$
解得$am=-1$，$m=\frac{c}{2}$，$\therefore a·\frac{c}{2}=-1$，$\therefore ac=-2$. 故选B.

8. (2025·无锡梁溪区东林中学期末)已知二次函数$y = -\frac{1}{2}x^2 - bx + b - c$，在$b$取不同值的情况下,部分函数值$y$与$x$的对应关系如下表：

则下列结论：①当$x = -b$时，$y$有最小值；②无论$b$取何值,二次函数的图像始终经过一个定点；③所有的$ac$值中，最大值为-4；④当$-3 ＜ b ＜ 2$时，$y$的值始终为负数.其中正确的是(C)。

A.①②
B.②③
C.②④
D.③④

答案： 8. C [解析]将表中$b=0$，$x=0$，$y=-4$代入二次函数$y=-\frac{1}{2}x^{2}-bx+b-c$，得$c=4$，
$\therefore$二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^{2}-bx+b-4$.
$\because a=-\frac{1}{2}＜0$，对称轴为$x=-b$，
$\therefore$二次函数的图像开口向下，当$x=-b$时，$y$有最大值，
结论①错误；
$\because y=-\frac{1}{2}x^{2}-bx+b-4=-\frac{1}{2}x^{2}-b(x-1)-4$，令$x-1=0$，即$x=1$，此时$y=-\frac{9}{2}$，
故二次函数的图像始终经过一个定点$(1,-\frac{9}{2})$，
故结论②正确；
$\because$二次函数$y=-\frac{1}{2}x^{2}-bx+b-4$的对称轴为直线$x=-b$，当$x=-b$时，
设$M=y_{ max}=-\frac{1}{2}b^{2}+b^{2}+b-4=\frac{1}{2}b^{2}+b-4$，
故$M$为$b$的二次函数，对称轴为$b=-1$，
此时$M_{ min}=-\frac{9}{2}$，
$\therefore$所有$y$的最大值中，有最小值$-\frac{9}{2}$，故结论③错误；
对于二次函数$y=-\frac{1}{2}x^{2}-bx+b-4$，考虑其判别式，
$\because\Delta=b^{2}-4×(-\frac{1}{2})(b-4)=b^{2}+2(b-4)=b^{2}+2b-8=(b+4)(b-2)$，$\Delta$为$b$的二次函数，开口向上，故当$-4＜b＜2$时，$\Delta＜0$，即当$-3＜b＜2$时，$\Delta＜0$，
此时，二次函数$y=-\frac{1}{2}x^{2}-bx+b-4$与$x$轴无交点，故函数值始终为负数，故结论④正确.
综上，②④正确. 故选C.