《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

25. (8分)教材P120复习题T12·拓展 (2024·泸州中考)如图,海中有一个小岛$C$,某渔船在海中的点$A$测得小岛$C$位于东北方向上,该渔船由西向东航行一段时间后到达点$B$,测得小岛$C$位于北偏东$30^{\circ}$方向上,再沿北偏东$60^{\circ}$方向继续航行一段时间后到达点$D$,这时测得小岛$C$位于北偏西$60^{\circ}$方向上.已知$A$、$C$相距$30\ n mile$,求$C$、$D$间的距离(计算过程中的数据不取近似值).

答案：
25.由题意,过点C作CH⊥AB于点H.

由题意,得∠CAB = 45°,AC = 30n mile,
∴AH = CH = AC·$\sin 45° = 15\sqrt{2}$(n mile).
由题意,得∠CBH = 60°,
∴BC = $\frac{CH}{\sin 60°} = \frac{15\sqrt{2}}{\sqrt{3}/2} = 10\sqrt{6}$(n mile).
过点D作DG⊥AB于点G,
∵∠DBG = 180° - 60° - 30° - 60° = 30°,
∴∠BDG = 60°,
∴CD = BC = 10$\sqrt{6}$n mile.
故C、D间的距离为20$\sqrt{2}$n mile.

26. (8分)(2024·辽宁中考)如图(1),在水平地面上,一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起.起始位置示意图如图(2),此时测得点$A$到$BC$所在直线的距离$AC = 3\ m$,$\angle CAB = 60^{\circ}$,停止位置示意图如图(3),此时测得$\angle CDB = 37^{\circ}$(点$C$、$A$、$D$在同一直线上,且直线$CD$与地面平行),图(3)中所有点在同一平面内.定滑轮半径忽略不计,运动过程中绳子总长不变.
(1)求$AB$的长;
(2)求物体上升的高度$CE$(结果精确到$0.1\ m$).
(参考数据:$\sin 37^{\circ}\approx0.60,\cos 37^{\circ}\approx0.80,\tan 37^{\circ}\approx0.75,\sqrt{3}\approx1.73$)

(1) (2) (3)
(第26题)

答案： 26.
(1)在Rt△ABC中,AC = 3m,∠CAB = 60°,
∴∠ABC = 30°,
∴AB = 2AC = 6m.
故AB的长为6m.
(2)在Rt△ABC中,AB = 6m,AC = 3m,
根据勾股定理,得BC = $\sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}$(m).
在Rt△BCD中,∠CDB = 37°,
∴$\sin \angle CDB = \frac{BC}{BD}$,即$\frac{3 × 1.73}{BD} \approx 0.60$,
∴BD ≈ 8.65m,
∴CE = BD - BA = 8.65 - 6 = 2.65 ≈ 2.7(m).
故物体上升的高度CE约为2.7m.