《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

14.（10分）（2024·福建中考）如图，已知二次函数$y = x^2 + bx + c$的图像与$x$轴交于A、B两点，与$y$轴交于点C，其中$A(-2,0)$、$C(0,-2)$.
(1)求二次函数的表达式；
(2)若P是二次函数图像上的一点，且点P在第二象限，线段PC交$x$轴于点D，$\triangle PDB$的面积是$\triangle CDB$的面积的2倍，求点P的坐标.

答案： 14.
(1)由题意，将A(-2,0)、C(0,-2)代入y = x² + bx + c，
得$\begin{cases}4 - 2b + c = 0,\\c = -2,\end{cases}$
∴$\begin{cases}b = 1,\\c = -2,\end{cases}$
∴二次函数的表达式为y = x² + x - 2.
(2)由题意，设P(m,n)(m ＜ 0,n ＞ 0)，
又△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，
∴$\frac{S_{\triangle PDB}}{S_{\triangle CDB}} = 2$，即$\frac{\frac{1}{2}BD· n}{\frac{1}{2}BD· CO}=2$，
∴$\frac{n}{CO}=2$.
又CO = 2，
∴n = 2CO = 4.
由m² + m - 2 = 4，得m₁ = -3，m₂ = 2(舍去).
∴点P的坐标为(-3,4).

15.（12分）（分割法 中考新考法 动点问题）（山东青岛一中自主招生）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角形，其顶点为$A(0,1)$、$B(2,0)$、$O(0,0)$，将此三角板绕原点$O$逆时针旋转$90°$，得到$\triangle A'B'O$，一抛物线经过点$A'$、$B'$、$B$.
(1)求该抛物线的表达式.
(2)设点$P$是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点$P$，使四边形$PB'A'B$的面积是$\triangle A'B'O$面积的4倍？若存在，请求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案：
15.
(1)
∵△A'B'O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，又A(0,1)，B(2,0)，O(0,0)，
∴A'(-1,0)，B'(0,2)，B(2,0)，
∴设抛物线的表达式为y = a(x + 1)(x - 2).
当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，一般设交点式.
将B'(0,2)代入，得2 = a(0 + 1)(0 - 2)，解得a = -1.
故该抛物线的表达式为y = -(x + 1)(x - 2)= -x² + x + 2.
(2)
∵P为第一象限内抛物线上的一动点，
∴设P(x,y)，则x ＞ 0，y ＞ 0，y = -x² + x + 2.
如图，连接PB、PO、PB'.

∴S四边形PB'A'B = S△B'OA' + S△PBO + S△POB'
使用割补法求不规则图形面积
=$\frac{1}{2}$×1×2 + $\frac{1}{2}$×2×x + $\frac{1}{2}$×2×y
=x + (-x² + x + 2)+1 = -x² + 2x + 3.
∵A'O = 1，B'O = 2，
∴△A'B'O的面积为$\frac{1}{2}$×1×2 = 1.
若四边形PB'A'B的面积是△A'B'O面积的4倍，则
4 = -x² + 2x + 3，即x² - 2x + 1 = 0，解得x₁ = x₂ = 1，
此时y = -1² + 1 + 2 = 2，即P(1,2).
∴存在点P(1,2)，使四边形PB'A'B的面积是△A'B'O面积的4倍.

16.（12分）（中考新考法 图形问题转化为代数模型）（2023·北京中考）在平面直角坐标系$xOy$中，$M(x_1,y_1)$、$N(x_2,y_2)$是抛物线$y = ax^2 + bx + c(a＞0)$上任意两点，设抛物线的对称轴为$x = t$.
(1)若对于$x_1 = 1$，$x_2 = 2$，有$y_1 = y_2$，求$t$的值；
(2)若对于$0 ＜ x_1 ＜ 1$，$1 ＜ x_2 ＜ 2$，都有$y_1 ＜ y_2$，求$t$的取值范围.

答案： 16.
(1)
∵对于x₁ = 1，x₂ = 2，有y₁ = y₂，
∴对称轴为x = $\frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2}$，
∴t = $\frac{3}{2}$.
(2)
∵0 ＜ x₁ ＜ 1，1 ＜ x₂ ＜ 2，
∴$\frac{x₁ + x₂}{2}＜\frac{3}{2}$，x₁ ＜ x₂.
∵y₁ ＜ y₂，a ＞ 0，
∴(x₁,y₁)离对称轴更近，则(x₁,y₁)与(x₂,y₂)的中点在对称轴的右侧，
∴$\frac{x₁ + x₂}{2}＞t$，即t≤$\frac{1}{2}$.