《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

19.(6分)(2025·徐州一中期中)如图，$AB$是半圆$O$的直径，$C$、$D$是圆上的两点，$\angle C = 90^{\circ}$，且$OD// AC$，$OD$与$BC$交于点$E$.
(1)求证：$E$为$BC$的中点；
(2)若$BC = 10$，$DE = 3$，求$AB$的长度.

答案： 19.
(1)
∵OD//AC，
∴∠OEB = ∠C = 90°，
∴OD⊥BC.
∵OD是⊙O的半径，
∴BE = CE，
∴E为BC的中点.
(2)
∵BC = 10，DE = 3，
∴设圆O的半径为x，即OB = OD = x，
∴OE = x - 3，$BE = \frac{1}{2}BC = 5. $在Rt△BOE中，$OB^2 = BE^2 + OE^2，$即$x^2 = 5^2 + (x - 3)^2，$ 解得$x = \frac{17}{3}，$
∴$AB = 2x = \frac{34}{3}.$
归纳总结 本题考查了圆周角定理、平行线性质、勾股定理、垂径定理，熟练掌握运用这些知识点是解题关键.

20.(8分)如图，$AD$为$\triangle ABC$外接圆的直径，$AD\perp BC$，垂足为点$F$，$\angle ABC$的平分线$BE$交$AD$于点$E$，连接$BD$、$CD$.
(1)求证：$BD = CD$；
(2)请判断$B$、$E$、$C$三点是否在以$D$为圆心，$DB$长为半径的圆上，并说明理由.

答案： 20.
(1)
∵AD为直径，AD⊥BC，
∴$\overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{CD}，$
∴BD = CD.
(2)B、E、C三点在以D为圆心、DB长为半径的圆上.理由如下： 由
(1)，知BD = CD，
∴∠BAD = ∠CBD.
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE = ∠ABE.
∵∠DBE = ∠CBD + ∠CBE，∠DEB = ∠BAD + ∠ABE，
∴∠DBE = ∠DEB，
∴DB = DE. 由
(1)，知BD = CD，
∴DB = DE = DC，
∴B、E、C三点在以D为圆心、DB长为半径的圆上.

21.(8分)(2024·天津河西区期末)如图，在每个小正方形边长为1的网格中，线段$AB$的端点$A$、$B$均落在格点上.
(1)线段$AB$的长等于√17；
(2)经过点$A$、$B$的圆交网格线于点$C$，在劣弧$AB$上有一点$E$，满足$\overset{\frown}{CE} = \overset{\frown}{AB}$，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点$E$，并简要说明点$E$的位置是如何找到的.(不要求证明)

答案：
$21.(1)\sqrt{17} [$解析$]AB = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}. (2)$如图，点E即为所求.

归纳总结 本题考查作图——复杂作图、勾股定理、垂径定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题.