《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

10. 分类讨论思想 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，$AC = 2$，以$C$为圆心，$r$为半径作圆.若该圆与线段$AB$只有一个交点，则$r$的取值范围为$r=\sqrt{3}$或$2＜r\leqslant2\sqrt{3}$.

答案：
10.$r=\sqrt{3}$或$2＜r\leqslant2\sqrt{3}$　[解析]如图，过点C作$CD\perp AB$于点D。　　在$Rt\triangle BCA$中，
∵$\angle ACB=90^{\circ}$，$AC=2$，$\angle B=30^{\circ}$，
∴$AB=4$，
∴$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2\sqrt{3}$　　根据三角形的面积公式，得$AB· CD=AC· BC$，
∴$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{2×2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$。　　当圆与边AB相切时，$r=\sqrt{3}$，　　当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，$r$的范围是$2＜r\leqslant2\sqrt{3}$。综上所述，$r$的取值范围是$r=\sqrt{3}$或$2＜r\leqslant2\sqrt{3}$　　　　　　　 归纳总结本题考查了直线和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理的应用，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想。

11.（8分）如图，在以点$O$为圆心的两个同心圆中，大圆的弦$AB$、$AC$分别与小圆相切于点$D$、$E$. 求证：$\angle B = \angle C$.

答案：
11.如图，连接OD、OE、OA。
∵大圆的弦AB、AC分别与小圆相切于　　点D、E，　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴$OD\perp AB,OE\perp AC,AD=AE$，
∴$AB=AC$，
∴$\angle B=\angle C$。

12.（8分）（2025·泰州泰兴期末）如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$O$是边$AC$上一点，以点$O$为圆心，$OA$为半径的圆分别交$AB$、$AC$于点$E$、$D$. 在$BC$的延长线上取点$F$，使得$BF = EF$.
（1）试判断$EF$所在直线与$\odot O$的位置关系，并说明理由；
（2）连接$OE$，若$OA = 1$，$\angle A = 20^{\circ}$，求扇形$OAE$的面积.

答案：
12.
(1)直线EF与⊙O相切。理由如下：　　如图，连接OE。　　　　　　　　　　　　　　
∵$FB=FE$，
∴$\angle B=\angle FEB$。
∵$OE=OA$，
∴$\angle BAC=\angle OEA$。
∵$\angle ACB=90^{\circ}$，
∴$\angle BAC+\angle B=90^{\circ}$，
∴$\angle OEA+\angle BEF=90^{\circ}$，　　即$\angle OEF=180^{\circ}-(\angle OEA+\angle BEF)=90^{\circ}$，　　即$OE\perp EF$，
∴直线EF与⊙O相切。　　
(2)
∵$\angle A=20^{\circ}$，
∴$\angle AEO=\angle A=20^{\circ}$，
∴$\angle AOE=180^{\circ}-20^{\circ}-20^{\circ}=140^{\circ}$，
∴扇形OAE的面积为$\frac{140\pi×1^{2}}{360}=\frac{7\pi}{18}$。

13.（8分）已知：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$.
（1）点$E$在$BC$边上，且$\triangle ACE$的周长为$AC + BC$，以线段$AE$上一点$O$为圆心的$\odot O$恰与边$AB$、$BC$边都相切. 请用无刻度的直尺和圆规确定点$E$、$O$的位置；
（2）若$BC = 8$，$AC = 4$，求$\odot O$的半径.

答案：
13.
(1)如图，作$\angle ABC$的平分线BO，作线段AB的垂直平分线EG交BC于点E，连接AE交BO于点O，以A、B为圆心大于$\frac{1}{2}AB$长为半径作弧，连接两弧交点，再以该两点为圆心，大于此两点距离的一半的长为半径作圆，两弧交于一点在直线BO上。　　　　　　　 　　则点E、O即为所求作点。　　
(2)设$AE=BE=x$，则$CE=8-x$。　　在$Rt\triangle ACE$中，$4^{2}+(8-x)^{2}=x^{2}$，解得$x=5$。在$Rt\triangle ABC$中，$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+8^{2}}=4\sqrt{5}$，设⊙O的半径为$r$。
∵$S_{\triangle ABE}=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOE}$，
∴$\frac{1}{2}×5×4=\frac{1}{2}×4\sqrt{5}r+\frac{1}{2}×5r$，
∴$r=\frac{16\sqrt{5}-20}{11}$，即⊙O的半径为$\frac{16\sqrt{5}-20}{11}$。