《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

25. (8 分)(2023·常德中考)如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 是直径,C 是$\overset{\frown} {BD}$的中点,过点 C 作 CE⊥AD 交 AD 的延长线于点 E.
(1)求证:CE 是⊙O 的切线;
(2)若 BC=6,AC=8,求 CE、DE 的长.

答案： 25.
(1)连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA.
∵点C是BD的中点，
∴∠OAC=∠CAE，
∴∠CAE=∠OCA，
∴OC//AE.
∵AE⊥CE，
∴OC⊥CE.
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线.
(2)
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∵BC=6，AC=8，
∴AB=$\sqrt{BC²+AC²}$=10.
又∠BAC=∠CAE，∠AEC=∠ACB=90°，
∴△AEC∽△ACB，
∴$\frac{EC}{CB}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{EC}{6}$=$\frac{8}{10}$，
∴EC=$\frac{24}{5}$.
∵点C是BD的中点，即$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴CD=BC=6，
∴DE=$\sqrt{6²−(\frac{24}{5})²}$=$\frac{18}{5}$.故EC=$\frac{24}{5}$，DE=$\frac{18}{5}$.

26. (10 分)如图,⊙O 与等边三角形 ABC 的边 AC、AB 分别交于点 D、E,AE 是直径,过点 D 作 DF⊥BC 于点 F.
(1)求证:DF 是⊙O 的切线;
(2)连接 EF,当 EF 是⊙O 的切线时,求⊙O 的半径 r 与等边三角形 ABC 的边长 a 之间的数量关系.

答案：
26.
(1)如图，连接OD.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠DAO=60°.又OD=OA，
∴△DOA是等边三角形.
∴∠ODA=∠C=60°，
∴OD//BC.又∠DFC=90°，
∴∠ODF=90°，
∴OD⊥DF.
又OD为⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线.
(2)由
(1)知AD=r，则CD=a−r，BE=a−2r.
在Rt△CFD中，∠C=60°，CD=a−r，
∴CF=$\frac{1}{2}$(a−r)，
∴BF=a−$\frac{1}{2}$(a−r).
又EF是⊙O的切线，
∴△FEB是直角三角形，且∠B=60°，
∴∠EFB=30°，
∴BF=2BE，
∴a−$\frac{1}{2}$(a−r)=2(a−2r)，
解得a=3r，即r=$\frac{1}{3}$a.
故⊙O的半径r与等边三角形ABC的边长a之间的数量关系为r=$\frac{1}{3}$a.