《2025年实验班提优大考卷九年级数学上册苏科版》

27. (8分)数形结合思想 (2024·德阳中考)如图,抛物线$ y = x^2 - x + c $与$ x $轴交于点$ A(-1, 0) $和点$ B $,与$ y $轴交于点$ C $.
(1)求抛物线的表达式;

(2)当$ 0 ＜ x \leq 2 $时,求$ y = x^2 - x + c $的函数值的取值范围;
(3)将抛物线的顶点向下平移$ \frac{3}{4} $个单位长度得到点$ M $,点$ P $为抛物线的对称轴上一动点,求$ PA + \frac{\sqrt{5}}{5}PM $的最小值.

答案：
27.
(1)
∵抛物线y = x² - x + c与x轴交于点A(-1,0)，
∴1 + 1 + c = 0，解得c = - 2，
∴抛物线的表达式为y = x² - x - 2.
(2)
∵y = x² - x - 2的对称轴为直线x = -$\frac{-1}{2×1}$ = $\frac{1}{2}$，而0＜x≤2，
∴函数最小值为y = $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{2}$ - 2 = -$\frac{9}{4}$.
当x = 0时，y = - 2；当x = 2时，y = 4 - 2 - 2 = 0，
∴函数值的范围为 -$\frac{9}{4}$≤y≤0.
(3)
∵y = x² - x - 2，当x = 0时，y = - 2，
∴C(0,-2).
当y = x² - x - 2 = 0时，解得x₁ = - 1，x₂ = 2，
∴B(2,0)，
∴AB = 3.
设直线AC的表达式为y = kx - 2，
∴ - k - 2 = 0，
∴k = - 2，
∴直线AC的表达式为y = - 2x - 2.
∵抛物线的顶点向下平移$\frac{3}{4}$个单位长度得到点M，而顶点为($\frac{1}{2}$,-$\frac{9}{4}$)，
∴M($\frac{1}{2}$,-3)，
∴M在直线AC上.
如图，过点P作PG⊥AC于点G，连接MB，过点P作PH⊥MB于点H.

∵A(-1,0)，C(0,-2)，
∴AC = $\sqrt{5}$，sin∠ACO = $\frac{1}{\sqrt{5}}$ = $\frac{\sqrt{5}}{5}$.
∵对称轴与y轴平行，
∴∠AMP = ∠ACO，
∴sin∠AMP = $\frac{PG}{PM}$ = $\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴PG = $\frac{\sqrt{5}}{5}$PM.
由抛物线的对称性，可得PG = PH，∠MAB = ∠MBA，
∴PA + $\frac{\sqrt{5}}{5}$PM = PA + PG = PA + PH≥AH，
当A、P、H三点共线时取等号.
∵sin∠MAB = $\frac{OC}{AC}$ = $\frac{2}{\sqrt{5}}$ = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ = sin∠ABH = $\frac{AH}{AB}$，
∴$\frac{AH}{3}$ = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴AH = $\frac{6\sqrt{5}}{5}$，即PA + $\frac{\sqrt{5}}{5}$PM的最小值为$\frac{6\sqrt{5}}{5}$.

28. (10分)(2024·赤峰一模)小爱同学学习二次函数后,对函数$ y = -(|x| - 1)^2 $进行了探究.在经历列表、描点、连线步骤后,得到如图的函数图像.请根据函数图像,回答下列问题:
(1)[观察探究]

①写出该函数的一条性质:函数图像关于y轴对称;
②方程$ -(|x| - 1)^2 = -1 $的解为x = - 2或x = 0或x = 2;
③若方程$ -(|x| - 1)^2 = a $有四个实数根,则$ a $的取值范围是-1＜a＜0.
(2)[延伸思考]
将函数$ y = -(|x| - 1)^2 $的图像经过怎样的平移可得到函数$ y_1 = -(|x - 2| - 1)^2 + 3 $的图像?写出平移过程,并直接写出当$ 2 ＜ y_1 \leq 3 $时,自变量$ x $的取值范围.

答案：
28.
(1)①函数图像关于y轴对称(答案不唯一)
②x = - 2或x = 0或x = 2　[解析]由函数图像知，方程 -(|x| - 1)² = - 1的解为x = - 2或x = 0或x = 2.
③ - 1＜a＜0　[解析]由函数图像知，若方程 -(|x| - 1)² = a有四个实数根，则a的取值范围是 - 1＜a＜0.
(2)将函数y = -(|x| - 1)²的图像向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数y₁ = -(|x - 2| - 1)² + 3的图像.
如图所示，当2＜y₁≤3时，自变量x的取值范围是0＜x＜4且x≠2.